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Algebre

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POLYNOMES
EQUATIONS
ALGEBRIQUES

Cours

39
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES

I. DEFINITIONS
1. Monôme
2. Polynôme
3. Equation algébrique
4. Zéro d’un polynôme
II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES
1. Identité de deux polynômes
2. Addition de deux polynômes
3. Multiplication de deux polynômes
4. Multiplication d'un polynôme par un scalaire
5. Division de deux polynômes suivant les puissances décroissantes
(Euclidienne)
6. Division Euclidienne par un polynôme de degré 1
7. Division de deux polynômes suivant les puissances croissantes (division non Euclidienne)
III. FACTORISATION D'UN POLYNOME
1. Définition
2. Factorisation dans C
3. Factorisation dans R
4. Utilisation de la décomposition d'un polynôme
IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3ème DEGRE A
COEFFICIENTS REELS
1. Forme générale
2. Nombre de racines réelles

40
POLYNOMES – EQUATIONS ALGEBRIQUES

I. DEFINITIONS
1. Monôme
Un monôme est une expression de la forme aiz i dans laquelle :
- i est un entier positif ou nul, appelé degré du monôme,
- z est la variable, réelle ou complexe,
- ai est un coefficient réel ou complexe.
Exemples :

2z 3 , 5z 6 ,

3
5
z, z4
2
4

2. Polynôme
Un polynôme de degré p est une somme algébrique de monômes qui peut être ordonnée suivant les puissances croissantes ou décroissantes :

ou

P(z ) = a0 + a1z + a2 z 2 + a3z 3 + ... + ai z i + ... + ap−2 z p −2 + ap −1z p−1 + apz p
P(z ) = ap z p + ap −1z p −1 + ap −2 z p −2 + ... + ai z i + ... + a3 z 3 + a2 z 2 + a1z + a0

Le degré d’un polynôme est égal au degré du monôme le plus élevé.
Exemples :

Suivant les puissances croissantes:
Suivant les puissances décroissantes:

z + z 6 + 3z 8 : degré = 8
2z 4 + 3z 2 + 5z + 1 : degré = 4 p Dans les deux cas on écrira un polynôme sous la forme générale : P(z ) = ∑ aiz i i =0

Remarques :

● L'indice i repère également le degré de chacun des monômes qui forment le polynôme.
● Un polynôme de degré 0 est un

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