1re_ES_Trinome_2nd_degre
I) Définition
On appelle fonction trinôme du second degré toute fonction définie sur IR qui peut s’écrire sous la forme : : ⟼ ²
avec ,
On dit que ² du second degré.
et
réels et
0.
est un polynôme du second degré ou un trinôme
Exemple :
Soit ,
,
et j les fonctions définies sur IR par :
², où, avec les notations de l’encadré précédent, une fonction polynôme du second degré.
3 ² – 5
2,
1 et
est donc
0.
où, avec les notations de l’encadré précédent,
3 ,
5 et
2.
1 3 – ) On prouve en développant cette expression que la fonction
bien polynômiale de degré 2 : notations de l’encadré précédent,
1,
1 3 – 2 et
3.
2
est
3, donc ici , avec les
3 ² , où, avec les notations de l’encadré précédent, est donc une fonction polynôme du second degré.
3 ,
1 et
0.
Contre exemples : On prouve en annexe, à la fin de ce cours , que ces fonctions ne sont pas des fonctions polynômes du second degré définies sur
définie sur IR par
.
1 ² – – 1 ²
n’est pas une fonction polynôme du second degré car en simplifiant on trouve
4 .
définie sur IR \ {0} par définie sur IR par
+
-4
²
1.
ne sont pas non plus des trinômes du second degré.
II) Forme canonique
1) Définition et mise en place.
Soit la fonction définie sur par un polynôme du second degré.
=
Comme a 0 , pour tout réel , on a =
Or ²
Donc
=
=
et enfin =
²
0,
²
² ²
²
, avec a
²
²
Cette écriture s’appelle forme canonique du trinôme .
Exemple 1: Soit
= ² – 3 +
–
Exemple
= ² – 3 +
( – )2 –
donc
+
sous forme canonique.
et enfin
–
2
:
Ecrire
=
²
+ 5
=
1 ²
2
+ 5
=
1
2
=
. Ecrire le trinôme
1 ²
²
le
donc
1
10
trinôme
= et enfin :