Angles et repères

I. Les Angles orientés.
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; I ; J).
Définitions : • Deux vecteurs u et v non nuls définissent un angle orienté noté (u ; v). • Les demi-droites [O ; u) et [O ; v) coupent le cercle trigonométrique en deux points E et F. Une mesure en radian de l’angle orienté (u ; v) est une mesure algébrique de l’arc EF.

Rappel : Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O et de rayon 1. Son périmètre est 2(

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Exemples remarquables : • Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si, et seulement si (u ; v) = 0 ou (u ; v) = ( [2(] • Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si, et seulement si (u ; v) = (/2 ou -(/2 [2(]

Remarque : Les mesures d’un angle diffèrent toutes d’un multiple de 2( On écrit : (u ; v) = α [2(] ( (u ; v) = α + k × 2(, k ( Z On choisit en général la mesure α la plus courte dite mesure principale.

Exemples : 25( et _ 15( mesurent-ils un même angle orienté ? Si oui, de quelle mesure principale ? 4 4

Exercices : Construire le dodécagone IABJCDEFGHKL inscrit dans le cercle trigonométrique Donner les mesures de : (OI ; OC) (OB ; OE) (OA ; OF) (OJ ; OB)… Faire de même avec l’octogone puis 9 ; 11 ; 5 p.270 et le TD 2 p.256
Propriétés : u, v et w sont trois vecteurs non nuls. • Relation de Chasles : (u ; v) + (v ; w) = (u ; w) • Antisymétrie : (u ; v) = - (v ; u) • Colinéarité : (a u ; v) = (u ; v) si a > 0 (a u ; v) = (u ; v) + ( si a < 0

Exemples : (–u ; v) = ____________ et (–u ; –v) = _______________

Exercices : 13 ; 18 ; 17 p.271 puis TD 1 p.266

II. repérage polaire. a. Coordonnées polaires d’un point. Activité 3 p.257
Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O ; I ; J).

Définitions : Les points O et I définissent un repère polaire du plan : O est l’origine et I est le pôle. Soit M un point du plan distinct de l’origine O : • La