Bac s1 maths

Pages: 6 (1362 mots) Publié le: 27 mai 2013
UNIVERSITE CHEIKH ANTA DIOP DE DAKAR

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OFFICE DU BACCALAUREAT BP 5005-DAKAR-Fann-S´n´gal e e Serveur Vocal : 628 05 59 T´l´fax (221) 33 864 67 39 - T´l. : 824 95 92 - 824 65 81 ee e MATHEMATIQUES

12 G 18 Bis A01 4 heures S´rie S1-S3 Coef 8 e . . Epreuve du 1er groupe

Les calculatrices ´lectroniques non imprimantes avec entr´e unique par clavier sont autoris´es. e e e Lescalculatrices permettant d’afficher des formulaires ou des trac´s de courbe sont interdites. e Leur utilisation sera consid´r´e comme une fraude.(CF.Circulaire n0 5990/OB/DIR. du 12 08 1998) e e

Exercice 1 (5 points). Dans le plan affine euclidien on donne une droite (D) et deux points distincts F et A, sym´triques e par rapport a (D). ` On d´signe par (H) l’hyperbole d’excentricit´ 2 qui admet F pour foyeret (D) pour directrice e e associ´e a F . e ` −→ − 1. Montrer que A est un sommet de (H). D´terminer l’autre sommet A′ en exprimant AA′ en e − → fonction de AF . Construire g´om´triquement les directrices de (H), ses foyers, ses sommets et son centre et e e donner l’allure de (H). 1, 5 pts = 0, 5 pt +0, 5 pt +0, 5 pt e e 2. Soit (C) un cercle passant par F et centr´ en un point O de (D) non situ´sur l’axe focal. Construire (C) sur la figure. On se propose de montrer que (H) ∩ (C) = A, M1 , M2 , M3 o` M1 , M2 et M3 sont les sommets u d’un triangle ´quilat´ral. e e → − − → → − On rapporte le plan ` un rep`re orthonorm´ (O, i , j ), choisi de fa¸on que (O, i ) soit un rep`re a e e c e de (D). A chaque point M du plan correspond ainsi son affixe z = x + iy ; on d´signe par a l’affixe de F . e a.Montrer que M(z) appartient ` (C) si et seulement si : zz − aa = 0 (On pourra interpr´ter a e g´om´triquement zz − aa). e e Montrer de mˆme que M(z) appartient ` (H) si et seulement si : (z − a)(z − a) + (z − z)2 = 0. e a 1 pts = 0, 5 pt +0, 5 pt b. En d´duire que (C) ∩ (H) est l’ensemble des points du plan dont les affixes z v´rifient une e e 3 ´quation de la forme : (z − a)(z − k) = 0, o` k est unnombre complexe qu’on exprimera en e u fonction de a. 0, 5 pt c. Montrer que k = r 3 eiθ o` r est le module de a et θ un argument de a. u R´soudre alors l’´quation (z − a)(z 3 − k) = 0 et conclure par rapport au probl`me pos´. e e e e 2 pts = 0, 5 pt +0, 5 pt +1 pt Exercice 2 (4 points). On consid`re la suite (un ) d´finie pour tout entier naturel n non nul par : e e un = 2n + 3 × 7n + 14n − 1. 1.a. Calculer u3 0, 5 pt b. Montrer que, pour tout entier naturel n non nul, un est pair. 0, 5 pt c. On note (E) l’ensemble des nombres premiers qui divisent au moins un terme de la suite (un ). 1

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12 G 18 Bis A01 S´rie S1-S3 e Epreuve du 1er groupe

Les entiers 2, 3, 5 et 7 appartiennent-ils ` l’ensemble (E). a 0, 5 pt 2. On rappelle le petit th´or`me de Fermat : ≪Si p est un nombre premier et q un entier naturel e e premier avec p, alors q p−1 ≡ 1[p].) ≫ Soit p un nombre premier strictement sup´rieur ` 7. e a Soient m et n deux entiers naturels tels que 14 = mn. a. Quelles sont les valeurs possibles de m ? 0, 5 pt b. Montrer que 14 × mp−2 ≡ n (modulo p). 0, 5 pt c. En d´duire que 14up−2 ≡ 0 (modulo p). e 0, 5 pt d. L’entier p appartient-il ` l’ensemble E? a 0, 5 pt e. D´terminer E. e 0, 5 pt PROBLEME (11 points ). ln(1 + x) f (x) = si x = 0 On consid`re la fonction f d´finie par : e e x f (0) = 1 → → − − C d´signe la courbe repr´sentative de f dans le plan muni d’un rep`re orthonorm´ (O, i , j ). e e e e Partie A 1. Etudier la continuit´ de f . e 2. a. D´montrer que pour tout r´el x non nul de l’intervalle ] − 1, +∞[ on a : e e 1 0≤ x
x 0 x 00, 25 pt

u2 du ≤ x 1+u

1 du. 1+u

(On pourra montrer ce r´sultat pour x appartenant ` ]0, +∞] et pour x appartenant a ] − 1, 0[). e a ` 0, 5 pt 1 u2 b. V´rifier que : ∀u ∈] − 1, +∞[, e =1−u+ 1+u 1+u 1 1 x u2 En d´duire que :∀x ∈] − 1, +∞[, x = 0 ⇒ f (x) = 1 − x + e du 2 x 0 1+u 0, 75 pt= 0, 25 pt+0, 5 pt c. En exploitant les r´sultats des questions pr´c´dentes, montrer que f est d´rivable...
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