EXERCICE 1 (4 points)
Commun à tous les candidats
Les deux parties A et B peuvent être traitées indépendamment.
Les résultats seront donnés sous forme décimale en arrondissant à 10
−4
.
Dans un pays, il y a 2 % de la population contaminée par un virus.
PARTIE A
On dispose d’un test de dépistage de ce virus qui a les propriétés suivantes :
– La probabilité qu’une personne contaminée ait un test positif est de 0,99 (sensibilité du test). – La probabilité qu’une personne non contaminée ait un test négatif est de 0,97 (spécifi- cité du test).
On fait passer un test à une personne choisie au hasard dans cette population.
On note V l’événement « la personne est contaminée par le virus » et T l’événement « le test est positif ».
V et T désignent respectivement les événements contraires de V et T .
1. a. Préciser les valeurs des probabilités P(V ), PV (T ) , P
V
(T ).
Traduire la situation à l’aide d’un arbre de probabilités.
b. En déduire la probabilité de l’événement V ∩T .
2. Démontrer que la probabilité que le test soit positif est 0,0492.
3. a. Justifier par un calcul la phrase :
« Si le test est positif, il n’y a qu’environ 40 % de « chances » que la personne soit contaminée ».
b. Déterminer la probabilité qu’une personne ne soit pas contaminée par le virus sachant que son test est négatif .
PARTIE B
On choisit successivement 10 personnes de la population au hasard, on considère que les tirages sont indépendants.
On appelle X la variable aléatoire qui donne le nombre de personnes contaminées par le virus parmi ces 10 personnes.
1. Justifier que X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
2. Calculer la probabilité qu’il y ait au moins deux personnes contaminées parmi les