Binaire

Pages: 21 (5115 mots) Publié le: 2 décembre 2014
5

Chapitre

Arithmétique binaire

L

es codes sont manipulés au quotidien sans qu’on s’en rende compte, et leur compréhension est quasi
instinctive. Le seul fait de lire fait appel au codage alphabétique, auquel la civilisation moderne doit
son développement rapide. Les nombres aussi sont représentés par des codes, et ces codes sont
formés par des chiffres. Il existe à ce titre demultiples codes pour représenter les nombres; ainsi les symboles
graphiques ‘XX’ et ‘20’ représentent tous deux la même quantité : vingt. Dans cet ouvrage, nous entendons le
mot code dans sa définition représentative, associant un symbole à un objet, un signifiant à un signifié : ‘123’
n’est pas la quantité cent vingt trois, de la même façon que ‘oie’ n’est pas l’animal.
Ce chapitre traite plusparticulièrement des codes analytiques auxquels les ingénieurs ont recours pour
effectuer des opérations arithmétiques. Le chapitre 7 couvrira quant à lui les codes dits représentatifs. Ces
notions sont importante car les systèmes numériques que l’on rencontre dans la pratique recourent à ces
codes et en respectent les standards.

5.1 Notions
Dans le cadre de notre étude, nous considérons lescodes sous une représentation binaire. C’est à dire que
nous représenterons tout code avec un ensemble de ‘0’ et de ‘1’. Ces deux symboles représentent les formes
possibles d’un bit.

5.1.1 Bit
Bit : Le mot fut utilisé pour la première fois par Claude Shannon dans un article publié en 1948. On attribue
cependant son origine à John Wilder Tukey, mathématicien américain, qui inventa égalementle mot software.
Bit est une contraction des mots binary digit, ou également binary unit. Un bit peut prendre deux valeurs
possibles, ‘0’ ou ‘1’. Il est à la base des codes que nous allons présenter.

5.1.2 Mot
Un mot est un ensemble de bits agencés de sorte à représenter un objet dans un code. Le mot ‘0110000’
représente le caractère ‘0’ (zéro) en code Ascii (voir le chapitre 7), ou lenombre 48 dans la représentation dite
décimale des entiers.

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5 - A R I T H M É T I Q U E

B I N A I R E

5.2 Codes analytiques
Les codes analytiques sont utilisés pour représenter les nombres (une quantité numérale). La matière
théorique s’y rattachant sera traitée en plusieurs sous-sections. Nous verrons d’abord la théorie des systèmes
de numération à base entière b, avant detraiter plus particulièrement la base 2. Une fois cette partie de la
matière traitée, nous considérerons les représentations des nombres binaires signés, et finalement
considérerons les opérations arithmétiques pouvant être utilisées sur ces représentations.

5.2.1 Systèmes de numération
On peut écrire les nombres réels sous différentes bases. La base dix est la plus utilisée. La forme générales’écrit :
N =

[ an−1

an − 2 L a1 a0 , a−1 a−2 L a− m ] ( b )

partie entière
n chiffres

partie fractionnaire
m chiffres

base

Les indices des ai sont associés aux puissances de b et vérifient tous l’inégalité suivante : 0 ≤ ai < b. Ainsi, la
valeur de N est :
N = an-1 x bn-1 + an-2 x bn-2 + … + a1 x b1 + a0 x b0 + a-1 x b-1 + a-2 x b-2 + … +a-m x b-m
Considérons à titre d’exemplequelques nombres en base 10 (notre base usuelle) :
123,561(10) = 1 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 + 5 x 10-1 + 6 x 10-2 + 1 x 10-3
= 1 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1 + 5 x 1/10 + 6 x 1/100 + 1 x 1/1000
= 100 + 20 + 3 + 0.5 +0.06 +0.001
3623,71(10) = 3 x 103 + 6 x 102 + 2 x 101 + 3 x 100 + 7 x 10-1 + 1 x 10-2
= 3 x 1000 + 6 x 100 + 2 x 10 + 3 x 1 + 7 x 1/10 + 1 x 1/100
= 3000 + 600 + 20 + 3 + 0.7 +0.01Utiliser des bases autre que la décimale n’est pas plus compliqué. Regardons à ce titre les exemples suivants :
123,561(8) = 1 x 82 + 2 x 81 + 3 x 80 + 5 x 8-1 + 6 x 8-2 + 1 x 8-3
= 1 x 64 + 2 x 8 + 3 x 1 + 5 x 1/8 + 6 x 1/64 + 1 x 1/512
= 64 + 16 + 3 + 0,625 +0,09375 +0,001953125 = 83,720703125
3623,71(16) = 3 x 163 + 6 x 162 + 2 x 161 + 3 x 160 + 7 x 16-1 + 1 x 16-2
= 3 x 4096 + 6 x 256...
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