Calcul matriciel

Pages: 9 (2054 mots) Publié le: 12 juin 2013
Le calcul matriciel
Dans tout ce cours, - K désigne ou . - i,j = 1 si i = j ou 0 si i ≠ j (symbole de Kronecker)

I)

Espaces vectoriels Mn,p(K)
1) Rappel



A = (ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p B = (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p A + B = (ai , j ) + (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ λ A = (λ ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p

j ≤ p

2) Matrices particulières
• Une matrice carrée de format (n,n)est notée : Mn(K) • La matrice nulle de format (n,p) est notée : 0(n,p) = (ai,j) avec ai,j = 0 pour tout i et j de [|1, n|] x [|1, p|] • La matrice élémentaire de format (n,p). Soit (i, j) ∈ [|1, n|] x [|1, p|] fixé alors :

0 Ei , j = 0 0 0 0 1

0 ∈ Mn , p ( K ) 0

Dans Mn, p(K), il y a n.p matrices élémentaires.

Famille des matrices élémentaires : (E1,1 ; E1,2 ; … ; E1,p ; E2,1 ; … ;E2,p ; En,1 ; … ; En,p) Pour i et j fixés,

Ei , j = (ak , l )1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ l ≤ p =

ak , l = 1 ak , l = 0 si k ≠ i ou l ≠ j

Donc, ∀( k , l ) ∈ [|1, n |] × [|1, p |] le coefficient d'indice (k,l) est : ak , l = δ i , k × δ j , l
Dans Mn(K), si A = (ai , j ) , les coefficients (a1,1, a2,2 , … , an,n) sont les coefficients diagonaux.
1 ≤ i, j ≤ n

• Matrice diagonale : A est une matricediagonale si ses coefficients en dehors de la diagonale sont tous nuls.

∀(i, j ) ∈ [|1, n |], i ≠ j
Exemple :

( ai , j ) = 0

a1,1 A=

0
an , n

α1
=

0
αn

0
Autres exemples :

0

0( n , n ) est diagonale. 1

In =

0
1

est diagonale

0

Les coefficients de In sont les (ai , j ) =

ai , j = 1 si i = j ai , j = 0 si i ≠ j

Donc, ( ai , j ) = δ i , j
•Matrice scalaire : A est une matrice scalaire si A est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont tous égaux.
α

A=

0
α

= α In

0

In et 0(n,n) sont scalaires. Les matrices scalaires sont les matrices de la forme In pour tout scalaire. • Matrice triangulaire : A est triangulaire supérieure si A ∈ Mn(K) avec des coefficients nuls sous la diagonale.

∀(i, j ) ∈ [|1, n |]2, i > j
a1,1 a1,2 0 A= 0 0 0 0 a1,n = 0 an ,n a1,1

( ai , j ) = 0

#
an,n

0

A est triangulaire inférieure si A ∈ Mn(K) avec des coefficients nuls sur la diagonale.

∀(i, j ) ∈ [|1, n |]2 , i < j
a1,1 A=

( ai , j ) = 0

0
an ,n

#

3) Structure de K-ev de Mn,p(K)
• (Mn,p(K), +, • ) est un K-ev de vecteur nul 0(n,p) • La famille des matrices élémentaires de format (n,p)est une base de Mn,p(K). c’est la base canonique.

II)

Produit matriciel
1) Définition

Soit A = ( ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤


j ≤ p

∈ Mn , p ( K ) ∈ Mp , q ( K )

B = (bj , k )1 ≤

j ≤ p, 1 ≤ k ≤ q

alors AB = ( ai , k )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ k ≤ q ∈ Mn , q ( K )

∀(i, k ) ∈ [|1, n |] × [|1, q |], (ci , k ) est le produit scalaire • de la ième ligne de A par la kème colonne de B(ci , k ) =

p j =1

ai , j × bj , k

• Remarques : - Le produit matriciel n’est pas commutatif. Si AB est définie alors BA n’est pas toujours définie.

- A² = A x A n’est défini que si A est une matrice carrée. - (A + B)² = A² + 2AB + B² seulement si AB = BA sinon (A + B)² = A² + AB + BA + B² - On peut avoir AB = 0 (matrice nulle) avec A non nul ou B non nul donc le produit matricieln’est pas intègre.

2) Structure d’Algèbre de Mn(K)
• Le produit matriciel n’est pas une LCI dans Mn, p(K) si n différent de p. c’est une LCI dans les matrices carrées. • Associativité (avec respect des formats) : Si A ∈ Mn, p(K) et B ∈ Mp, q(K) et C ∈ Mq, r(K) alors : A x (B x C) = (A x B) x C • Distributivité à gauche : Si A ∈ Mn, p(K) et B, C ∈ Mp, q(K) alors A x (B + C) = A x B + A x C •Distributivité à droite : Si A, B ∈ Mn, p(K) et B ∈ Mp, q(K) alors (A + B) x C = A x C + B x C • Matrice identité : Si A, B ∈ Mn, p(K) alors A x Ip = A et In x A = A • Sans Mn(K), x est une LCI et (Mn(K), +, x) est un anneau non commutatif avec In comme élément neutre.

3) Matrices inversibles
• Définition : Soit A ∈ Mn(K), A est inversible si :

∃B ∈ Mn ( K ) / AB = BA = In
Remarque : Cette...
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