Calcul matriciel

2054 mots 9 pages
Le calcul matriciel
Dans tout ce cours, - K désigne ou . - i,j = 1 si i = j ou 0 si i ≠ j (symbole de Kronecker)

I)

Espaces vectoriels Mn,p(K)
1) Rappel



A = (ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p B = (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p A + B = (ai , j ) + (bi , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ λ A = (λ ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p

j ≤ p

2) Matrices particulières
• Une matrice carrée de format (n,n) est notée : Mn(K) • La matrice nulle de format (n,p) est notée : 0(n,p) = (ai,j) avec ai,j = 0 pour tout i et j de [|1, n|] x [|1, p|] • La matrice élémentaire de format (n,p). Soit (i, j) ∈ [|1, n|] x [|1, p|] fixé alors :

0 Ei , j = 0 0 0 0 1

0 ∈ Mn , p ( K ) 0

Dans Mn, p(K), il y a n.p matrices élémentaires.

Famille des matrices élémentaires : (E1,1 ; E1,2 ; … ; E1,p ; E2,1 ; … ; E2,p ; En,1 ; … ; En,p) Pour i et j fixés,

Ei , j = (ak , l )1 ≤ k ≤ n , 1 ≤ l ≤ p =

ak , l = 1 ak , l = 0 si k ≠ i ou l ≠ j

Donc, ∀( k , l ) ∈ [|1, n |] × [|1, p |] le coefficient d'indice (k,l) est : ak , l = δ i , k × δ j , l
Dans Mn(K), si A = (ai , j ) , les coefficients (a1,1, a2,2 , … , an,n) sont les coefficients diagonaux.
1 ≤ i, j ≤ n

• Matrice diagonale : A est une matrice diagonale si ses coefficients en dehors de la diagonale sont tous nuls.

∀(i, j ) ∈ [|1, n |], i ≠ j
Exemple :

( ai , j ) = 0

a1,1 A=

0 an , n

α1
=

0 αn 0
Autres exemples :

0

0( n , n ) est diagonale. 1

In =

0
1

est diagonale

0

Les coefficients de In sont les (ai , j ) =

ai , j = 1 si i = j ai , j = 0 si i ≠ j

Donc, ( ai , j ) = δ i , j
• Matrice scalaire : A est une matrice scalaire si A est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont tous égaux. α A=

0 α = α In

0

In et 0(n,n) sont scalaires. Les matrices scalaires sont les matrices de la forme In pour tout scalaire. • Matrice triangulaire : A est triangulaire supérieure si A ∈ Mn(K) avec des coefficients nuls sous la diagonale.

∀(i, j ) ∈ [|1, n |]2

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