Calcul Matriciel

19433 mots 78 pages
[http://mp.cpgedupuydelome.fr] édité le 17 février 2015

Calcul matriciel

Enoncés

1

Exercice 5 [ 00702 ] [correction]
Résoudre l’équation X 2 = A où


Opérations sur les matrices
Exercice 1 [ 01247 ] [correction]
Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A.
On pose


1 ··· 1


J =  ... (1) ... 
···

1

1

Vérifier J.A.J = σ(A).J.

1
A= 0
0

Exercice 6 [ 03976 ] [correction]
Soit A ∈ GLn (R) vérifiant

0
4
0


1
2 
16

A + A−1 = In

Pour k ∈ N, calculer Ak + A−k .

Problèmes de commutation
Exercice 2 [ 01248 ] [correction]
Pour i, j, k, ∈ {1, . . . , n}, on note Ei,j et Ek, les matrices élémentaires de
Mn (K) d’indices (i, j) et (k, ). Calculer
Ei,j × Ek,

Exercice 3
Soit

[ 00403 ]

Exercice 8 [ 01250 ] [correction]
Soit A = (ai,j ) ∈ Mn (K). Montrer que

[correction]
M=

avec 0 d c b a et b + c
Pour tout n 2, on note

a c b d ∈ M2 (R)

∀B ∈ Mn (K), AB = BA ⇔ ∃λ ∈ K, A = λ.In

a + d.
Mn =

Démontrer que, pour tout n

Exercice 7 [ 01249 ] [correction]
Soient λ1 , . . . , λn des éléments de K deux à deux distincts et D = diag(λ1 , . . . , λn ).
Déterminer les matrices de Mn (K) commutant avec D.

an cn bn dn Exercice 9 [ 02687 ] [correction]
Soient A, B ∈ Mn (R) où B est nilpotente et commute avec A. Montrer que A et
A + B sont simultanément inversibles.

2, bn + c n

an + dn

Exercice 4 [ 03422 ] [correction]
Soient A, B ∈ Mn (K) vérifiant
AB = A + B
Montrer que A et B commutent

Exercice 10 [ 00697 ] [correction]
On suppose que A, B ∈ Mn (K) commutent et que A est inversible.
Justifier que les matrices A−1 et B commutent.

Exercice 11 [ 00709 ] [correction]
a) Quelles sont les matrices de Mn (K) commutant avec toutes les matrices de
Mn (K) ?
b) Même question aves les matrices commutant avec toutes celles de GLn (K).
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Exercice 12 [ 02689 ] [correction]
Soient n ∈ N , α1 , . . . , αn des complexes distincts, A = diag(α1

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