Calcul stochastique appliqué à la finance
Romuald ELIE

Avril 2006

.

Ces notes correspondent à un cours donné aux élèves de deuxième année de l’ENSAE. Elles ont pour but de présenter les bases mathématiques des méthodes de pricing et de couverture des produits dérivés. Après l’obtention de la définition mathématique de la notion d’arbitrage, nous étudions les modèles par arbre binomial à 2 puis n périodes. Nous développons ensuite quelques outils de calcul stochastiques nécessaires à l’étude des modèles en temps continu et en particulier du modèle de Black-Scholes. Ces notes de cours sont accompagnées de TDs.

Nota: Ces notes de cours sont librement inspirées de différentes manuels, polycopiés, notes de cours ou ouvrages. Citons en particulier ceux de Francis Comets, Nicole El Karoui, Monique Jeanblanc, Bernard Lapeyre, Damien Lamberton, Steven Shreeve... Je les en remercie.

Mea Culpa: Comme dans toute notes de cours, des erreurs encore nombreuses restent présentes dans ce polycopié. N’hésitez pas à me les communiquer: elie@ensae.fr.

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1.1

Notion d’Arbitrage
Hypothèses sur le marché

Nous supposerons que: 1. Les actifs sont divisibles à l’infini; 2. Le marché est liquide: on peut acheter ou vendre à tout instant; 3. On peut emprunter et vendre à découvert; 4. Les échanges ont lieu sans coûts de transaction; 5. On peut emprunter et prêter au même taux constant r.

1.2

Arbitrage

Quelles sont les évolutions possibles du marché? Ω: ensemble des états possibles du marché; P: Probabilité réelle (ou en tout cas anticipée) de survenance de chacun des états. Quelles sont les stratégies d’investissement? Définition 1.1 Un portefeuille autofinancant est une stratégie d’achat ou de vente de titres, actions, prêts et emprunts à la banque, et plus généralement de produits dérivés dont la valeur n’est pas modifiée par l’ajout ou le retrait d’argent. On notera Xt la valeur en t du portefeuille X. On se donne donc simplement un capital initial et