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Séries Numériques
La série constitue une généralisation de la notion de somme pour une succession in…nie de termes. L’étude des séries consiste à évaluer la somme d’un nombre …ni n de termes successifs, puis, par un calcul de limite, à identi…er le comportement de la série lorsque n devient indé…niment grand. Un certain nombre de méthodes permettent de déterminer la nature (convergence ou non ) des séries sans réaliser explicitement les calculs, comme on va le voir par la suite.
2-1 Généralités sur les séries numériques.
Soit fUn gn2N = fU0 ; U1 ; U2 ; :::; Un ; :::g une suite in…nie de nombres réels
Dé…nition 2.1
L’expression de la forme
U0 + U1 + ::: + Un + ::: =
1
P
Un
(2.1)
n=0
est appelée série numérique. Les nombres U0 ; U1 ; :::; Un ; ::: sont appelés termes de la série.
La série numérique (2.1) est dite aussi série de terme générale Un ; série Un ; ou série U:
Dé…nition 2.2
La somme …nie
Sn = U0 + U1 + ::: + Un =
n
P
(2.2)
Uk
k=0
est appelée somme partielle de rang n de la série (2.1).
Dé…nition 2.3
On dit que la série de terme général (Un ) converge si et seulement si la suite (Sn ) converge.
Dans ce cas on appelle somme de la série sa limite que l’on note
S = lim Sn = n!1 1
P
(2.3)
Un
n=0
On dit que la série de terme général (Un ) diverge si la suite (Sn ) diverge ( lim Sn = 1 ou n!1 n’existe pas).
1
Exemple2.1
1
1
1
1
Soit Un =
; Sachant que
=
n(n + 1) n(n + 1) n n+1 on a n X
1
1
1
Sn =
(
)=1 k k+1 n+1 k=1
D’où
lim Sn = 1 ) la série est convergente.
n!1
Soit Vn = p
1 p : En notant que n+1+ n p Vn = n + 1
p
n;
On montre que n X p ( k+1
Sn =
p
p
k) = ( 2
p
1) +
p
3
p
2) + :::
k=1
p p ::: + n + 1
n)
p
=
1 + n + 1 ! 1 quand n ! 1
) La série est divergente.
Soit Wn = q n )
Sn = 1 + q + q 2 + ::: + q n =
Soit jqj < 1, alors lim Sn = lim n!1 Donc la série
1
P
1
1 q n+1
=
1 q
1 q
1
q n+1
=1
1 q
n!1
1
q n+1
; q 6= 1
1 q
(2.4)
q n converge.
n=0
Soit jqj > 1, alors lim Sn = lim n!1 Donc la série
1