Les suites : bac es ( spécialité )

Pages: 36 (8752 mots) Publié le: 5 mars 2011
SUITES
SESSION 1999
Antilles-Guyane septembre 1998 (5 points)
On consid`re la suite (un )n e
0

Terminale ES (Sp´cialit´) e e

d´finie par : e   u0 = 1 1 = un + 1. 2

1. Calculer u1 , u2 et u3 .

− → → − 2. Dans le plan rapport´ a un rep`re orthonormal (O; i , j ) d’unit´ graphique 4 cm, tracer la droite (D) d’´quation e` e e e 1 e y = x et droite (D ) d’´quation y = x + 1. Enutilisant (D ) et (D), repr´senter sur ce graphique les points P, e 2 Q, R, S, T, U, V, de coordonn´es respectives : e (u0 ; 0), (u0 ; u0 ), (u0 ; u1 ), (u1 ; u1 ), (u1 ; u2 ), (u2 ; u2 )(u2 ; u3 ). 3. Soit (vn )n
0

 un+1

la suite d´finie par : vn = un − 2. e
0

(a) Montrer que (vn )n

est une suite g´om´trique dont on pr´cisera le premier terme et la raison. e e e

(b) Exprimer vn enfonction de n, en d´duire l’expression de un fonction de n. e (c) Calculer la limite de un .

Sportifs de haut niveau octobre 1998 (5 points)
Un salari´ remarque qu’il lui reste, chaque mois, 2 000 F (francs fran¸ais) de son salaire mensuel. e c Il d´cide donc, en 1998, de r´aliser une ´pargne « prudente » de la fa¸on suivante. e e e c Le 28 de chaque mois, il verse 50 % du solde de son comptecourant sur un plan d’´pargne. e Le solde est nul le 28 d´cembre 1997. e Le 28 janvier 1998, le solde de son compte courant est : S1 = 2 000 F ; il verse donc la somme e1 = 1 000 F sur son plan d’´pargne et laisse 1 000 F sur son compte courant. e Le 28 f´vrier 1998, le solde S2 est ´gal a 3 000 F : c’est-`-dire 1 000 F restant, plus 2 000 F d’´conomies mensuelles. e e ` a e Il verse donc e2 = 1500 Fsur son plan d’´pargne. e 1. Calculer e3 et e4 , versements respectifs de son compte courant a son plan d’´pargne le 28 mars et le 28 avril. ` e 2. On d´signe par en le montant th´orique du versement du compte courant au plan d’´pargne le 28 du ne mois e e e qui suit le mois de d´cembre 1997. e 1 On a donc en+1 = (en + 2000). 2 Pour tout nombre entier naturel n non nul, on d´finit la suite (vn )par vn = 2000 - en . e (a) D´montrer que la suite (vn ) est g´om´trique de raison 0,5 et de premier terme v1 = 1000. e e e (b) En d´duire l’expression de vn en fonction de n. e (c) Calculer v1 + v2 + . . . + v12 . 3. (a) Exprimer en en fonction de n. (b) Trouver le montant de la somme capitalis´e sur le plan d’´pargne au 29 d´cembre 1998. e e e

D. Le FUR

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SUITES
Am´rique du sudnovembre 1998 (5 points) e

Terminale ES (Sp´cialit´) e e

` A partir de 1997 une association d’aide a la recherche m´dicale envoie chaque ann´e a Monsieur X un courrier pour ` e e ` l’inviter a l’aider financi`rement par un don. Monsieur X a r´pondu favorablement en 1997 en envoyant un don. On ` e e admet que, chaque ann´e a partir de 1998, la probabilit´ pour que Monsieur X fasse un don est ´galea 0,9 s’il a fait e ` e e ` un don l’ann´e pr´c´dente et a 0,4 s’il n’a rien donn´ l’ann´e pr´c´dente. e e e ` e e e e On note pour tout entier naturel n : – En l’´v`nement : « Monsieur X est donateur en 1998 + n » ; e e – Pn la probabilit´ de En ; e e e – En l’´v`nement contraire de En . 1. Traduire les donn´es en termes de probabilit´s conditionnelles concernant les ´v´nements E n+1 , En , En .e e e e 2. (a) Pr´ciser la valeur de P0 . e (b) Calculer P(E1 ∩ E0 ) et P(E1 ∩ E0 ). En d´duire la valeur de P1 . e 3. (a) Montrer que P(En+1 ∩ En ) = 0,9Pn et que P(En+1 ∩ En ) = 0,4(1 - Pn ) pour toutentier n. (b) En d´duire que Pn+1 = 0, 5Pn + 0, 4 pour tout entier naturel n. e (c) Quelle est la probabilit´ pour que Monsieur X soit donateur en 2001 ? e 4. On d´finit une suite (Un ) en posantpour tout entier naturel n : Un = Pn − 0, 8. e (a) D´montrer que la suite (Un ) est g´om´trique. Pr´ciser sa raison et son premier terme. e e e e (b) Exprimer (Un ) en fonction de n. (c) En d´duire que Pn = 0, 1 × 0, 5n + 0, 8 pour tout entier naturel n. e (d) D´terminer la limite de la suite (Pn ). e

Nouvelle-Cal´donie d´cembre 1998 (5 points) e e
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