Chapitre 4 Avec Exercices Fonctions Condense
3294 mots
14 pages
Tout d’abord, nous avons les règles simples :Z
Z
Z
(f + g)(x)dx = f (x)dx + g(x)dx + C
Z
Chapitre 4
af (x)dx = a
Z
f dx + C, si a est une constante.
Ensuite (c’est un premier exemple élémentaire de changement de variables), pour toute
R
constante a si F (x) = f (x)dx, alors
Z
Z
1
f (x + a)dx = F (x + a) + C, f (ax)dx = F (ax) + C. a Calcul de primitives
Remarque : Savez-vous vérifier ce point ? Faîtes le.
Nous avons déjà signalé le résultat central du calcul intégral : pour toute fonction continue f : I 7! R, où I est un intervalle ouvert, il existe une fonction dérivable F : I 7! R telle que F 0 = f . Une telle fonction F s’appelle une primitive de f .
Deux primitives F1 et F2 de la même fonction f diffèrent d’une constante additive : la fonction F1 F2 est constante, et donc une primitive n’est définie qu’à une constante
R
additive près. Une telle fonction F sera notée f dx, pour des raisons qui viennent du calcul intégral.
Si F est une primitive de f , et C une constante, alors F + C en est une autre et, pour tout couple a < b de points de l’intervalle de définition I, la valeur F (b) F (a)
Rb
ne dépend pas du choix de la constante. On la note a f (t)dt. Si a > b, on pose souvent
Rb
Ra
Rb
a f (t)dt = b f (t)dt, de telle façon qu’on ait toujours la formule a f (t)dt = F (b) F (a), et on a la relation de Chasles : pour tous (a, b, c)
Z
b
f (t) + a Z
c
f (t)dt = b Z
c
f (t)dt. a Rb
Cette quantité a f (t)dt est appelée l’intégrale de f entre a et b.
Le but
R b du calcul intégral, que nous ne développerons pas ici, est d’identifier cette quantité a f (t)dt (si f est positive) comme l’aire de la portion du plan délimitée par l’axe des abscisses, le graphe de la courbe, et les droites verticales d’équation {x = a} et {x = b}.
Nous avons vu dans le chapitre précédent un certain catalogue de fonctions usuelles, à partir desquelles on peut fabriquer de nouvelles fonctions en les ajoutant, les multipliant, et en les composant les unes avec les autres.
Pour