Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
A- Généralités B- Précision d’un estimateur C- Exhaustivité D- information E-estimateur sans biais de variance minimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d’estimation

A- ESTIMATION PONCTUELLE: GÉNÉRALITÉS

A- 1 Définition
• On s’intéresse à la caractéristique X d’une population (éventuellement à un vecteur de caractéristiques), dont la loi dépend d’un paramètre inconnu

θ ∈ ϑ ⊂ R p , p ≥ 1.
• On note fθ ( x) la densité de la loi de X au point x (resp. la loi Pθ(X=x) de X au point x) si X est continue (resp. si X est discrète).

•

On dispose d’un sondage de taille n de la population (l’observation de X sur ( X 1 ,..., X n ) n individus) , noté( x1 ,..., xn ) . On note l’échantillon aléatoire associé à ce sondage (il s’agit d’un vecteur aléatoire dont une réalisation particulière est ( x1 ,..., xn ) .

A-1 Définition
Estimer le paramètre θ consiste à donner une valeur approchée à ce paramètre à partir d’un sondage de la population. Ex : P X, θ=E(X)?

( x1 ,..., xn )

1 n x = ∑ xi n i =1 x est une approximation ou estimation de θ.

A-1 Définition
Estimateur et estimation :
P

X, θ=E(X)?

1 n x = ∑ xi n i =1
•

( x1 ,..., xn )

( x '1 ,..., x 'n )

1 n x ' = ∑ x 'i n i =1

( x1 ,..., xn ) ( x '1 ,..., x 'n ) sont deux réalisations de l’échantillon aléatoire ( X ,..., X ) 1 n
• Les deux estimations statistique 1 n

x et x ' de θ sont deux réalisations de la appelée estimateur de θ. i X=

∑X n i =1

A-1 Définition
Formalisation :

Soit θ ∈ ϑ ⊂ R p , p ≥ 1 le paramètre inconnu dont dépend la loi de X Un estimateur Θn de θ est une statistique de l’échantillon aléatoire :

Θ n = h( X 1 ,..., X n ), h : R n → R p , p ≥ 1 telle que pour chaque réalisation ( x1 ,..., xn ) de l’échantillon aléatoire, la ˆ valeur θ n = h( x1 ,...xn ) prise par Θn approche θ.

de l’estimateur Θn .

θˆn s’appelle une estimation de θ . C’est une réalisation particulière

A-2 Exemple