Chimie

Pages: 23 (5679 mots) Publié le: 21 mars 2013
Cours 5 : ESTIMATION PONCTUELLE
A- Généralités B- Précision d’un estimateur C- Exhaustivité D- information E-estimateur sans biais de variance minimale, estimateur efficace F- Quelques méthode s d’estimation

A- ESTIMATION PONCTUELLE: GÉNÉRALITÉS

A- 1 Définition
• On s’intéresse à la caractéristique X d’une population (éventuellement à un vecteur de caractéristiques), dont la loi dépendd’un paramètre inconnu

θ ∈ ϑ ⊂ R p , p ≥ 1.
• On note fθ ( x) la densité de la loi de X au point x (resp. la loi Pθ(X=x) de X au point x) si X est continue (resp. si X est discrète).



On dispose d’un sondage de taille n de la population (l’observation de X sur ( X 1 ,..., X n ) n individus) , noté( x1 ,..., xn ) . On note l’échantillon aléatoire associé à ce sondage (il s’agit d’unvecteur aléatoire dont une réalisation particulière est ( x1 ,..., xn ) .

A-1 Définition
Estimer le paramètre θ consiste à donner une valeur approchée à ce paramètre à partir d’un sondage de la population. Ex : P X, θ=E(X)?

( x1 ,..., xn )

1 n x = ∑ xi n i =1 x est une approximation ou estimation de θ.

A-1 Définition
Estimateur et estimation :
P

X, θ=E(X)?

1 n x = ∑ xi n i =1
•( x1 ,..., xn )

( x '1 ,..., x 'n )

1 n x ' = ∑ x 'i n i =1

( x1 ,..., xn ) ( x '1 ,..., x 'n ) sont deux réalisations de l’échantillon aléatoire ( X ,..., X ) 1 n
• Les deux estimations statistique 1 n

x et x ' de θ sont deux réalisations de la
appelée estimateur de θ.
i

X=

∑X n
i =1

A-1 Définition
Formalisation :

Soit θ ∈ ϑ ⊂ R p , p ≥ 1 le paramètre inconnudont dépend la loi de X Un estimateur Θn de θ est une statistique de l’échantillon aléatoire :

Θ n = h( X 1 ,..., X n ), h : R n → R p , p ≥ 1
telle que pour chaque réalisation ( x1 ,..., xn ) de l’échantillon aléatoire, la ˆ valeur θ n = h( x1 ,...xn ) prise par Θn approche θ.

de l’estimateur Θn .

θˆn s’appelle une estimation de θ . C’est une réalisation particulière

A-2 Exempled’estimateurs
Estimateur de l’espérance E(X) de X : La moyenne empirique

1 n Xn = ∑ Xi n i =1

Pour une réalisation donnée ( x1 ,..., xn ) de l’échantillon aléatoire, 1 n x = ∑ x est l’estimation de E(X) associée à ce jeu de données.
n

n i =1

i

Propriét és :

E( X n ) = E( X ) V (Xn ) =
V (X ) n

A-2 Exemple d’estimateurs
Estimateurs de la variance σ² et de l’écart-type σ de Xlorsque E(X)=m est connue :

1 n T = ∑ ( X i − m )² n i =1
2 n

est un estimateur de σ² est un estimateur de σ
2 1 n t n = ∑ xi − m ² et n i =1

Tn = Tn2

Pour une réalisation donnée de l’échantillon aléatoire, Sont les estimations associées . Propriétés (cf TD) :

(

)

tn

2 E (T ) = σ ² n µ 4 −σ 4 2 V (Tn ) = n

A-2 Exemple d’estimateurs
Cas général La variance et l’écart-typeempirique s

1 n S = ∑ ( X i − X n )² n i =1
2 n

est un estimateur de σ² est un estimateur de σ
2 1 n sn = ∑ xi − x ² n i =1

Sn = S

2 n

Pour une réalisation donnée de l’échantillon aléatoire,

(

)

et

sn = sn

2

sont les estimations associées (on les note encore
n −1 2 σ² E(S ) = n n
2 V ( Sn ) =

ˆ σ ² et σ

Propriétés:

n −1 ( (n − 1)µ 4 − (n − 3)σ 4 ) n3 A-2 Exemple d’estimateurs
La variance et l’écart-type empiriques corrigés:

1 n S = ∑ ( X i − X n )² n − 1 i =1
*2 n

est un estimateur de σ² est un estimateur de de σ

* *2 Sn = Sn

Propriétés :

2* E (Sn ) = σ ²

1 (n − 3) 4  2* V ( Sn ) =  µ 4 − σ  n (n − 1) 

A-2 Exemple d’estimateurs
Estimateur de la fonction de répartition F(x) : La fonction de répartitionempirique:

1 n Fn ( x) = ∑1X i < x n i =1

est un estimateur de F(x) en tout point x.

Pour une réalisation donnée ( x1 ,..., xn ) de l’échantillon aléatoire,

1 n Fn ( x) = ∑1xi < x n i =1
Propri étés :

est l’estimation de F(x) associée à ce jeu de données.

E ( Fn ( x)) = F ( x ) V ( Fn ( x)) =
F ( x )(1 − F ( x ))

n

A-2 Exemple d’estimateurs
Soient ( X 1 ,..., X n ) et (Y1...
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