Communication graphique

Pages: 20 (4930 mots) Publié le: 30 décembre 2014
Communication graphique
Plan du cours
Partie II. La projection centrale
1. La projection centrale sur le plan
2. La perspective centrale sur le plan
Partie III. Géométrie numérique
1. Les applications affines
2. Les coordonnées homogènes

Communication graphique
Géométrie numérique


Représentation numérique des points, vecteurs



Opérations élémentaires



Translations



Rotations



Mise à l'échelle



Cisaillement

Traitement numérique des axonométries

Communication graphique
Transformations affines
Points et vecteurs
Les points sont des éléments de l’espace euclidien
tridimensionnel E3
E3 s’appelle l’espace affine, un point définit une position,
point milieu d’une droite, centre de gravité de l’objet
3
Les vecteurs sont deséléments de l’espace vectoriel ℝ

[]

1
P= 2
3

!

;

[]

4
t= 5
6

La convention utilisée dans la suite est
celle des vecteurs colonne

Communication graphique
Vecteurs
Pour tout couple de points P, Q, il existe un vecteur unique t
qui pointe de Q vers P, il est calculé par leur soustraction
composante par composante
P

t= P −Q
3

P ,Q ∈E ; t ∈ℝ

t

3

Q

O Communication graphique
Vecteurs
Par ailleurs pour un vecteur donné t , il existe une infinité
de paires de points telles que t = P - Q
Si u est un vecteur arbitraire,

P

P + u, Q + u
t
est une autre paire de points
qui satisfait la relation.
Q

O

Communication graphique
Vecteurs et Points
P
t

Q
O'
O
les vecteurs sont invariants par rapport aux translations
tandisque les points ne le sont pas

Communication graphique
Combinaison barycentrique
Combinaison barycentrique souvent appelée combinaison affine
n

X =∑  i P i
i=0

3

X , P i ∈E ,0 ⋯ n=1

n

X = P 0 ∑ i  P i − P 0 
i=1

c’est aussi une somme d’un point et de vecteurs
La combinaison convexe est une combinaison barycentrique
où tous les coefficients i sont non négatifs,leur somme restant égale à 1
La combinaison convexe de points est toujours à « l’intérieur » des
points, ce qui conduit à la définition de l’enveloppe convexe
d’un ensemble de points...

Communication graphique
L’enveloppe convexe est le
plus petit polygone
convexe incluant
tous les points

Lieu des combinaisons convexes

Tout segment de droite qui relie 2 points de cet ensembleest entièrement situé à l’intérieur de l’ensemble

Communication graphique

Pour définir un vecteur à partir de points :
n

u=∑ i P i

 0⋯ n =0

i=0

On a invariance par rapport à la translation...

Pour définir un point à partir d'autres points:
n

X =∑  i P i
i=0

 0⋯ n=1

Communication graphique

Une transformation  est affine si elle laisse invariantes
lescombinaisons affines :
n

3

X =∑ i P i ; X , P i ∈E , 0⋯n =1
i=0

n

 X =∑ i  P i 
0

3

 X : X ∈E  E

3

De manière concrète cela signifie par exemple, que le point
milieu d’un segment de droite a son image au milieu de l’image
du segment de droite...

Communication graphique
Transformation affine sous forme matricielle:

 P ≡A⋅Pu , u∈ℝ

3

nn

0

0

 ∑ i P i =A⋅ ∑  i P i u
=∑ A⋅i P i ∑ i u
=∑ i A⋅P i u
=∑ i  P i 

Communication graphique
Quelques transformations affines
identité : u = 0, A = I , I est la matrice
identité,
translation :
u est le vecteur de translation, A = I,

[ ]
[] [ ]
[ ]
[
]

1 0 0
u=0 ; A= 0 1 0
0 0 1

1 0 0
a
u= b ; A= 0 1 0
0 0 1
c

mise à échelle
a 0 0u = 0, A est une matrice diagonale
u=0 ; A= 0 b 0
dont les termes définissent les échelles
0 0 c
selon les axes,
rotation :
u = 0, A est une matrice de rotation,

cos  −sin  0
u=0 ; A= sin  cos  0
0
0
1

Communication graphique
Quelques transformations affines
cisaillement :
où a, b, c sont les 3 coefficients
de cisaillement.

[ ]

1 a b
u=0 ; A= 0 1 c
0 0 1...
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