Correction du CONTRÔLE N°4
Exercice 1 (5 points)

ABCDEFGH est un parallélépipède rectangle.
Répondre aux questions suivantes, chaque réponse devra être justifiée
(seul la justification comptera)
1.
Les droites ( AD ) et ( EF) sont-elles sécantes : non, car les points A , D et E sont dans une face ( ADHE ) du parallélépipède, mais pas le point F , donc les droites ( AD ) et ( EF) ne sont pas coplanaires. 2.
Les droites ( AE ) et ( CG ) sont-elles parallèles : oui, car elles sont parallèles à une même droite, la droite ( BF ) (ou la droite ( DH ) )
3.
Les points A , E , C , G sont-ils coplanaires : oui, car les droites ( AE ) et ( CG ) sont parallèles.
4.
La droite ( AD ) et le plan ( EGH ) sont-ils sécants : non, car la droite ( AD ) est parallèles à la droite
( EH ) qui est contenu dans le plan (EGH), donc la droite ( AD ) est parallèle au plan ( EGH ) .
5.
Les plans ( BCD ) et ( AEH ) sont-ils sécants : oui, car les points A et D sont communs aux deux plans, donc ces deux plans se coupent suivant la droite ( AD ) .
Exercice 2 (5 points)
ABCD est un tétraèdre régulier (ou pyramide régulière) de côté 4 cm.
I et J sont les milieux respectifs de [ AB ] et [ CD ] .
1.
La droite ( AJ ) est une médiatrice pour le triangle ACD , car celui-ci est équilatéral, donc la droite qui passe par le milieu d'un côté et le sommet opposé est une médiatrice (aussi médiane, bissectrice et hauteur). 2.
Le triangle AJC est rectangle en J , on a AC=4 et
4
CJ= =2 , donc d'après le théorème de Pythagore, on a
2
AC 2=AJ 2+JC2
Donc AJ 2=AC 2−JC 2=42−22=16−4=12 , donc AJ= √ 12=2 √ 3
3.
La nature du triangle AJB est isocèle en J , car on montrerai, comme à la question précédente que
BJ=2 √ 3 .
4.
Donc Le triangle AIJ est rectangle en I (car IJ est une hauteur du triangle ABJ ). D'après le théorème de Pythagore, on a AJ 2=AI 2+ IJ 2 .
2
5.
Donc IJ 2=AJ2−AI 2=( 2 √3 ) −22 =12−4=8 , donc IJ =√ 8=2 √ 2 .
Exercice 3 (4 points)
2
2
Soit A ( x )=( 2−x ) −( 4 x−3 ) .
A ( x )= [ ( 2−x ) + ( 4 x−3 ) ][