Correction contrôle maths
b. h′ ( x ) = g′ ( x ) e− ax − ag ( x ) e− ax = ag ( x ) e− ax − ag ( x ) e− ax = 0 ⇒ h ( x ) = K . c. h ( x ) = K = g ( x ) e− ax ⇒ g ( x ) = Keax . 2. f0 ( x ) = a cos x + b sin x est solution de l’équation différentielle (E) : y ' = 2y + cos x si a. f0′ ( x ) = 2 f0 ( x ) + cos x ⇔ − a sin x + b cos x = 2 ( a cos x + b sin x ) + cos x ⇒ coefficient de cos x et de sin x). b. y ' = 2y a pour solutions y = Ke2x où K ∈ IR c. f est solution de (E) si et seulement si ⇔ f ′ − f0′ = 2 ( f − f0 ) , soit ( f − f0 )’ = 2(f – f0) donc : f0′ = 2 f0 + cos x f – f0 solution de (E0). d. Les solutions de (E) sont données par f − f0 = Ke2 x ⇔ f ( x ) = − cos x + sin x + Ke2 x .
2 5 1 5 π 2 Ke 2
− a = 2b 1 2 ⇒b= ,a=− b = 2a + 1 5 5
(en identifiant le
f ' = 2 f + cos x
π π 1 π 2 e. k = − cos + sin +
2 5 2 5 2
=
1 1 + Keπ = 0 ⇔ K = − e−π 5 5
.
Ex complexes
1 1 z+ . 2 z 1 1 1. z ' E = −i + = 0 . 2 −i 1 1 2. z = z + ⇔ 2 z 2 = z 2 + 1 ⇔ z 2 = 1 ⇔ z = ±1 . 2 z 1 1 2 z + z + 1 z 2 + 1 + 2 z ( z + 1 )2 z '+ 1 2 z +1 3. a. = = 2 = = . 2 1 z '− 1 1 z −1 z + − 1 z + 1 − 2z ( z − 1 ) 2 z z' =
b.
1− z' M ′B z '− 1 z +1 MB = = = = . M ′A −1 − z ' z '+ 1 z −1 MA uuuuu uuuur r uuuu uuuu r r z '+ 1 z +1 M ′A, M ′B = arg = 2 arg z − 1 = 2 M A, M B . z '− 1 M 'B 4. M est un point de ∆ : M A = M B ⇒ = 12 = 1 ⇔ M ' B = M ' A ; M'A uuuu uuuu r r uuuuu uuuur r π π 5. a. M appartient à Γ : M A, M B = ± ⇒ M ′A, M ′B = ±2 = ±π 2 2
2 2
(
)
(
)
M’ est un point de ∆ . donc M’ appartient à (AB) car A,M’ et B
(
)
(
)
alignés.
1 1 b. Si M’ a pour affixe Z, où est M ? Z = z + ⇔ z 2 − 2 Zz + 1 = 0 qui a toujours une ou deux solutions. Tous 2 z les points ont des antécédents par f, qu’ils