Correction Devoir 1
BTS Comptabilité et gestion des organisations
Deuxième année
Mathématiques
Devoir 1
Problème 1
Partie A
Soit une suite géométrique (un) de premier terme u0 et de raison 1,157.
1) Afin de déterminer le terme un en fonction de n, nous allons utiliser la relation de cours pour une suite géométrique de raison b entre un terme quelconque un et le premier terme u0 : un = bnu0. Ainsi, un = (1,157)n u0.
2) Déterminons la somme des dix premiers termes de la suite géométrique (un).
D’après le cours, S = Premier terme ¥
1-1,15710
1,15710 -1
1- raison nombre de termes
= u0
.
ce qui donne S = u0
1-1,157
0,157
1- raison
3) Déterminons la limite de la suite géométrique (un).
On sait, selon la question 1, que un =(1,157)n uo.
La raison b=1,157 est supérieure à 1 donc lim (1,157) n = +∞ et par conséquent, lim u n = +∞ car u o > o. n →+α
n →+∞
Partie B
1) Soit P1 le prix de l’objet le 1er Janvier 2014.
Au bout d’une année, le prix aura augmenté de 15,7 % donc P1 = P0 +
82063CTPA01
15,7
P soit P1 = 1,157 P0.
100 0
1/4
2) D’une année sur l’autre, les prix sont multipliés par une constante réelle : 1,157 donc les prix d’un article aux 1er
Janvier 2013, 1er Janvier 2014, 1er Janvier 2015… sont les termes d’une suite géométrique de raison 1,157.
3) Notons P0 = 100 le prix d’un article le 1er Janvier 2013.
Déterminons le prix de cet article au 1er Janvier 2023 c’est-à-dire le prix au bout de dix années. Appelons P10 ce prix. Remarquons que la suite qui nous intéresse dans cette partie est la même que celle étudiée dans la partie A.
Nous avions alors trouvé que un = (1,157)n u0 ce qui donne, avec nos nouvelles notations P10 = (1,157)10 P0.
Sachant que P0 = 100, on obtient :
P10 = (1,157)10 ×100 soit P10 = 429,86 € (valeur arrondie).
Au 1er Janvier 2023, le prix d’un article marqué 100 € le 1er Janvier 2013 s’élèvera à environ 429,86 €.
4) Déterminons au cours de quelle année le prix d’un article aura doublé par rapport à son prix P0 au 1er Janvier
2013. Soit Pr le