Correction examen
1742 mots
7 pages
INSTITUT PREPARATOIRE AUX ETUDES D’INGENIEURS DE NABEULCorrigé : Examen du Premier Trimestre
Épreuve d’Analyse
Fait le : 12-12-2011 Section : MP 1 point pour la cohérence du raisonnement, la clarté et la concision du développement. Problème N˚ :(12pt) 1 1. (1 .5pt)La continuité (0 .5pt) : – x → (x − 1) + 2 (x − 1) ln2 x = (x − 1) (x − 1) + 2 ln2 x = 0 est continue sur ]0, 1[ . – x → xx−1 − 1 = exp ((x − 1) ln x) − 1 est continue sur ]0, 1[ . D’où f est continue comme rapport et composé de fonctions continues sur ]0, 1[ . La limite en 1 (0 .5pt) : on posera y = x − 1 ⇒ [x → 1− ⇒ y → 0− ] – exp ((x − 1) ln x) − 1 Ainsi f (x) = y=x−1 3 2
Proposé par : Lamouchi Haithem
=
exp (y ln (y + 1)) − 1 y 3 1 + 2 ln y1+y 2
1 3y
2
y→0− ⇒y ln(1+y)→0
∼
y ln (1 + y) ∼ y 2
– (x − 1)3 + 2(x − 1) ln2 x xx−1 −1 (x−1)3 +2(x−1) ln2 x
y=x−1
=
∼ 3y 3
∼
y2 3y 3
=
y→0−
→ −∞
Conclusion (0 .5pt) : la limite de f en 1 n’est pas finie donc f n’est pas prolongeable par continuité en 1. 2. Soit (un ) ⊂ [0, 1[ ; lim un = 1. n→+∞ (a) (0 .5pt) (un ) n’est pas obligatoirement croissante, il suffit de prendre comme exemple : u0 = On a 0 < 1 et u0 = Ou ∀n ∈ N , un = (b) (1pt) i. (0 .25pt) lim un = 1, pour ε = n→+∞ n→+∞ 1−u0 2 ∗ 1 2
1 1 , un = 1 − , ∀n ∈ N∗ 2 n n→+∞ > u1 = 0 & (un ) ⊂ [0, 1[ & lim un = 1. 1− 1−
2 n 1 n
si n est paire . si n est impaire > 0, ∃n1 > 0; un1 ≥ 1 − ε =
1−unp 2 1+u0 2
> u0 .
1+unp 2
ii. (0 .25pt) De même, lim un = 1, pour ε =
> 0, ∃np+1 > np ; unp+1 ≥ 1 − ε =
> unp .
iii. (0 .5pt) Soient p ∈ N, par construction on a uψ(p) < uψ(p+1) , d’où uψ(p) est strictement croissante. uψ(p) est une sous suite de (un ), en effet ∀p ∈ N, ψ (p) = np < np+1 = ψ (p + 1) Donc ψ : N → N est strictement croissante.Ainsi lim uψ(p) = lim un = 1. n→+∞ n→+∞
3. (1pt : chaque ⇒ vaut 0 .5pt)Il suffit de remarquer que t → f est uniformément continue sur [a, b[ ⇔
b−a b+a 2 t+ 2 ,
réalise une bijection de [−1, 1[