correction probabilité
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Ex 2 (6 points)Un étudiant est soumis à un QCM qui comporte 100 questions. A chaque question l’étudiant répond au hasard. la probabilité qu’il réponde juste à la question est constante égale à 0,45. La réponse qu’il donne à une question ne dépend pas des réponses qu’il donne aux autres questions.
On s’intéresse au nombre N de bonnes réponses qu’il obtient ainsi aux 100 questions.
1°) justifier que la loi de probabilité de N est la loi binomiale B(100 ; 0,45)
100 une m^exp a 2 issues
Indep des res
Constance de la proba de succeès
N compte le nbre de succès
1
………. …..
on admettra dans toute la suite de l’exercice, que la variable N suit la loi binomiale B(100 ; 0,45)
2°) Calculer la probabilité d’avoir 50 bonnes réponses parmi les 100. (donnez le détail du calcul)
.
P(N = 50) = ∁ 𝟓𝟎 ∗ 𝟎. 𝟒𝟓 𝟓𝟎 ∗ 𝟎. 𝟓𝟓 𝟏𝟎𝟎−𝟓𝟎 = 𝟎. 𝟎𝟒𝟖𝟏𝟔
𝟏𝟎𝟎
3°) Compléter en détaillant :
E(N) = 100*0.45 = 45
V(N) = 45*0.55 = 24.75
1
0,5+ 0.5
4°) Pourquoi la loi de probabilité de N sera-t-elle mal approchée par une loi de Poisson ?
E(N) ≠ V(N) ce qui interdit que la loi de N soit une loi de Poisson de P1son on aurait E(X) = V(X)
5°) Calculer P(N ≤ 50) (pour ce calcul, utiliser l’approximation par une loi normale dont on indiquera les paramètres ; détaillez les calculs) n grand, avec np et n(1-p) supérieurs à 15 alors B(100 ; 0.45) est approchée par N(45 ; √24.75 ) et P(N ≤ 50) ≈ P( Y < 50+0,5) où Y suit N(45 ; 5 ) alors P(N ≤ 50) ≈ P( Y < 50+0,5) = P(Y94) = 𝑷 (𝑻 >
𝟗𝟒−𝟏𝟓𝟒
𝟐𝟎
) = 𝑷(𝑻 > −𝟑) = 𝑷(𝑻 < 3) = 𝟎. 𝟗𝟗𝟖𝟔𝟓
1
a) le pourcentage des joueurs dont la dépense D est supérieure à 94€ est égal à : 99.865% 0.5
4°) a)Calculer la probabilité que la dépense D soit comprise entre 150€ et 200€. (détailler)
P(150 < D