Corrigé Métropole S

A. P. M. E. P.

Correction Baccalauréat S Métropole Juin 2010
E XERCICE 1 Partie A : 1. La fonction u est dérivable sur R, comme somme des fonctions x → x et x → e−x , chacune dérivable sur R. Soit x ∈ R. Comme u (x) = e−x − xe−x , on en déduit : u (x) + u(x) = e−x − xe−x + xe−x = e−x : u est donc est une solution de l’équation différentielle (E) 2. On sait d’après le cours que les solutions (sur R) de l’équation différentielle y + a y = 0 sont les fonctions hK définies sur R par hK (x) = K e−ax , avec K ∈ R. On en déduit : Les solutions de l’équation (E ) sont les fonctions hK définies sur R par hK (x) = K e−x , où K ∈ R 3. v est une solution de l’équation différentielle (E) ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ∀x ∈ R v (x) + v(x) = e−x ∀x ∈ R v (x) + v(x) = u (x) + u(x) ∗ ∀x ∈ R v (x) − u (x) + v(x) − v (x) = 0 ∀x ∈ R (v − u) (x) + (v − u)(x) = 0 v − u est une solution de l’équation différentielle (E’)

Bernard Froget & Sébastien Sigrist

∗

car u est une solution de l’équation y + y = e−x ⇔ ⇔ ⇔

4. Raisonnons encore par équivalence : v est une solution de l’équation différentielle (E) v − u est une solution de l’équation différentielle (E’) Il existe un réel K tel que, pour tout réel x : (v − u)(x) = K e−x Il existe un réel K tel que, pour tout réel x : v(x) = K e−x + u(x) d’après Q.3. d’après Q.2.

Par suite :

Les solutions de l’équation (E ) sont les fonctions v K définies sur R par v K (x) = K e−x + xe−x = (x + K )e−x , où K ∈ R 5. Soit g une solution de (E ) : d’après Q.4, il existe un réel K tel que : ∀x ∈ R g (x) = (K + x)e−x . Comme : g (0) = 2 ⇔ K e0 = 2 ⇔ K = 2, on en déduit : L’unique solution g de l’équation (E ) vérifiant g (0) = 2 est la fonction g définie sur R par : g (x) = (x + 2)e−x . Partie B : 1. La fonction f k est dérivable sur R (par exemple en tant que solution, sur R, de l’équation (E )). On a alors : ∀x ∈ R f k (x) = e−x − f k (x) = e−x − e−x (x + k) = e−x (1 − x − k).

Puisque e X > 0 pour tout réel X , le signe de f k (x) est