Calcul Différentiel et Analyse Complexe
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Questions pour un QCM
Exercice 1. En quatre versions
Version 1
Considérer la fonction f : R2 → R donnée par f(x, y) = x2 + y4 − xy − 1 et l’ensemble E := {(x, y) : f(x, y) = 0}. Au voisinage du point (1, 0) peut-on appliquer le théorème des fonctions implicites pour écrire l’ensemble E comme le graphe d’une fonction C1 ?
— oui, pour avoir un graphe du type y = φ(x) mais pas x = φ(y)
— oui, pour avoir un graphe du type x = φ(y) mais pas y = φ(x)
— oui, tant …afficher plus de contenu…

— f est un difféomorphisme locale au voisinage de chaque point de R2
— f est un difféomorphisme de R2 sur son image
— f est surjective mais pas injective
— f n’est ni injective ni surjective (BONNE)
Version 3
Considérer la fonction f : R2 → R2 donnée par f(x, y) = (e−3x cos y, e−x sin y). Une seule parmi les affirmations suivantes est vraie : laquelle ?
— f est un difféomorphisme locale au voisinage de chaque point de R2 (BONNE)
— f est un difféomorphisme de R2 sur son image
— f est surjective mais pas injective
— f est injective mais pas surjective
Version 4
Considérer la fonction f : R2 → R2 donnée par f(x, y) = (−ex cos y, e−x sin y). Une seule parmi les affirmations suivantes est vraie : laquelle ?
— f est un difféomorphisme locale au voisinage de chaque point de …afficher plus de contenu…

Aucune n’est surjective non plus, parce qu’on ne peut jamais obtenir (0, 0) dans l’image : il faudrait cos(y) = sin(y) = 0. En particulier, on n’est pas un difféomorphisme de R2 sur son image parce qu’il n’y a pas d’injectivité. Reste à voir si on a un difféomorphisme locale, ce qui dépend exclusivement du déterminant de la Jcobienne. Si f(x, y) = (ceαx cos y, eβx sin y) on a
Df(x, y) =
(
cαeαx cos y −ceαx sin y βeβx sin y eβx cos y
)
,
et