Séquence 1
1ère partie :
Deux nouvelles fonctions

2e partie :
Géométrie plane

3e partie :
Un peu de logique

Séquence 1 – MA12

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ère
1

partie

Deux nouvelles fonctions Sommaire
1. Pré-requis p.9
2. La fonction racine carrée p.16
3. La fonction valeur absolue p.21
4. Synthèse de la partie 1 de la séquence p.28
5. Exercices d’approfondissement p.30

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Séquence 1 – MA12

1 Pré-requis
A

Ordre dans ‫ޒ‬

Propriétés

Soient trois réels a, b et c. Si a ≤ b , alors a + c ≤ b + c .

Conséquence

Soient quatre réels a, b, c et d. Si a ≤ b et c ≤ d , alors a + c ≤ b + d .
Soient a, b, c de R tels que a ≤ b .
̈ Si

c ≥ 0 , alors ac ≤ bc ,

̈ Si

c ≤ 0 , alors ac ≥ bc .

Soient trois réels a, b et c tels que a ≤ b . a b
̈ Si c > 0, alors
≤ . c c

Remarque

Soient a, b de R , on a : a ≤ b si et seulement si b − a ≥ 0 .
Cette remarque peut être utile pour démontrer certaines inégalités.

̈

Exemple 1
Solution

Montrer que pour tout a de R , a 2 + 1 ≥ 2a .
Étudions le signe de la différence.

( )

)

)2

On a : a 2 + 1 − ( 2a = a 2 − 2a + 1 = (a − 1 ≥ 0.
On en déduit l’inégalité : a 2 + 1 ≥ 2a .

Remarque

Pour résoudre algébriquement une inéquation, on peut :
̈ se ramener à une inéquation du type … > 0 ou … < 0 (bien sûr les inégalités peuvent être larges : ≥ ou ≤ ) ;
̈ tout mettre sur le même dénominateur ;
̈ factoriser ;

Séquence 1 – MA12

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̈ éventuellement, utiliser

̈

un tableau de signes. x x +1
Résoudre l’inéquation :
<
. x −1 x + 2

Exemple 2

Solution

L’inéquation

x x +1 x x +1
<
est équivalente à
−
< 0. De plus, on a : x −1 x + 2 x −1 x + 2

x x +1 x ( x + 2)
( x + 1)( x − 1) x ( x + 2) − ( x + 1)( x − 1)
=
−
−
= x − 1 x + 2 ( x − 1)( x + 2) ( x + 2)( x − 1)
( x + 2)( x − 1)
=

x 2 + 2x − ( x 2 − 1)
2x + 1
=
( x + 2)( x − 1)
( x + 2)( x − 1)

Éudions le signe des différents facteurs.
La fonction a définie par a ( x )