corriges svt
1ère partie :
Deux nouvelles fonctions
2e partie :
Géométrie plane
3e partie :
Un peu de logique
Séquence 1 – MA12
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ère
1
partie
Deux nouvelles fonctions Sommaire
1. Pré-requis p.9
2. La fonction racine carrée p.16
3. La fonction valeur absolue p.21
4. Synthèse de la partie 1 de la séquence p.28
5. Exercices d’approfondissement p.30
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Séquence 1 – MA12
1 Pré-requis
A
Ordre dans ޒ
Propriétés
Soient trois réels a, b et c. Si a ≤ b , alors a + c ≤ b + c .
Conséquence
Soient quatre réels a, b, c et d. Si a ≤ b et c ≤ d , alors a + c ≤ b + d .
Soient a, b, c de R tels que a ≤ b .
̈ Si
c ≥ 0 , alors ac ≤ bc ,
̈ Si
c ≤ 0 , alors ac ≥ bc .
Soient trois réels a, b et c tels que a ≤ b . a b
̈ Si c > 0, alors
≤ . c c
Remarque
Soient a, b de R , on a : a ≤ b si et seulement si b − a ≥ 0 .
Cette remarque peut être utile pour démontrer certaines inégalités.
̈
Exemple 1
Solution
Montrer que pour tout a de R , a 2 + 1 ≥ 2a .
Étudions le signe de la différence.
( )
)
)2
On a : a 2 + 1 − ( 2a = a 2 − 2a + 1 = (a − 1 ≥ 0.
On en déduit l’inégalité : a 2 + 1 ≥ 2a .
Remarque
Pour résoudre algébriquement une inéquation, on peut :
̈ se ramener à une inéquation du type … > 0 ou … < 0 (bien sûr les inégalités peuvent être larges : ≥ ou ≤ ) ;
̈ tout mettre sur le même dénominateur ;
̈ factoriser ;
Séquence 1 – MA12
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̈ éventuellement, utiliser
̈
un tableau de signes. x x +1
Résoudre l’inéquation :
<
. x −1 x + 2
Exemple 2
Solution
L’inéquation
x x +1 x x +1
<
est équivalente à
−
< 0. De plus, on a : x −1 x + 2 x −1 x + 2
x x +1 x ( x + 2)
( x + 1)( x − 1) x ( x + 2) − ( x + 1)( x − 1)
=
−
−
= x − 1 x + 2 ( x − 1)( x + 2) ( x + 2)( x − 1)
( x + 2)( x − 1)
=
x 2 + 2x − ( x 2 − 1)
2x + 1
=
( x + 2)( x − 1)
( x + 2)( x − 1)
Éudions le signe des différents facteurs.
La fonction a définie par a ( x )