MPSI 1-2-3
DS 05 le 21 janvier 2004
Pr´sentation des copies : e – Utiliser des copies doubles uniquement ;
– Laisser une marge ` gauche de chaque feuille et une demi-page sur la premi`re feuille a e pour les remarques du correcteur. Num´roter les feuilles doubles en indiquant le nombre e total de feuilles doubles (par exemple 1/3, 2/3, 3/3). Indiquer le nom sur chaque double feuille. 1/3 vide Q2
Q1
Q3
– Les questions doivent ˆtre trait´es dans l’ordre de l’´nonc´, correctement num´rot´es e e e e e e et un trait horizontal doit les s´parer ; si une question n’est pas trait´e, laisser un e e espace blanc.
– Ne pas utiliser de crayon de papier. Tirer deux traits diagonaux ` l’encre pour suppria mer une partie de la copie.
– L’´nonc´ ne doit pas ˆtre recopi´ sur les copies. e e e e
– Passer souvent ` la ligne et espacer les formules. a R´daction math´matique : e e
– Annoncer avant une d´monstration, le r´sultat ` prouver et respecter les plans de e e a d´monstration. e – Chaque variable utilis´e dans une d´monstration doit ˆtre d´finie ; e e e e
– Pour montrer une ´quivalence, l’´crire en num´rotant les propositions (i) et (ii) ; e e e – Chaque r´sultat annonc´ doit ˆtre justifi´ en citant pr´cis´ment un th´or`me du cours e e e e e e e e avec ses hypoth`ses exactes, ou en citant le num´ro d’une question pr´c´dente du e e e e probl`me. e
– Les r´sultats de calcul doivent ˆtre simplifi´s et encadr´s. e e e e
– Les calculs doivent ˆtre d´taill´s et expliqu´s ` l’aide de phrases en Fran¸ais : e e e e a c – Les notations de l’´nonc´ doivent ˆtre respect´es ; e e e e

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On d´finit l’intervalle I = [0, + ∞[ et on note N l’ensemble des fonctions f : I → R v´rifiant : e e
1. f (0) = 0,
2. ∀x ∈ I, f (x) ≥ 0,
3. f est deux fois d´rivable sur I, e 4. ∀x ∈ I, f (x) ≥ 0.

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Comportement ` l’infini des fonctions de N a Pour une fonction f ∈ N , on d´finit la fonction e ]0, + ∞[

Q