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Pages: 17 (4221 mots) Publié le: 14 septembre 2014
MPSI 1-2-3
DS 05
le 21 janvier 2004
Pr´sentation des copies :
e
– Utiliser des copies doubles uniquement ;
– Laisser une marge ` gauche de chaque feuille et une demi-page sur la premi`re feuille
a
e
pour les remarques du correcteur. Num´roter les feuilles doubles en indiquant le nombre
e
total de feuilles doubles (par exemple 1/3, 2/3, 3/3). Indiquer le nom sur chaque double
feuille.1/3
vide
Q2
Q1
Q3
– Les questions doivent ˆtre trait´es dans l’ordre de l’´nonc´, correctement num´rot´es
e
e
e
e
e e
et un trait horizontal doit les s´parer ; si une question n’est pas trait´e, laisser un
e
e
espace blanc.
– Ne pas utiliser de crayon de papier. Tirer deux traits diagonaux ` l’encre pour suppria
mer une partie de la copie.
– L’´nonc´ ne doit pas ˆtre recopi´ surles copies.
e
e
e
e
– Passer souvent ` la ligne et espacer les formules.
a

R´daction math´matique :
e
e
– Annoncer avant une d´monstration, le r´sultat ` prouver et respecter les plans de
e
e
a
d´monstration.
e
– Chaque variable utilis´e dans une d´monstration doit ˆtre d´finie ;
e
e
e
e
– Pour montrer une ´quivalence, l’´crire en num´rotant les propositions (i) et (ii) ;
ee
e
– Chaque r´sultat annonc´ doit ˆtre justifi´ en citant pr´cis´ment un th´or`me du cours
e
e
e
e
e e
e e
avec ses hypoth`ses exactes, ou en citant le num´ro d’une question pr´c´dente du
e
e
e e
probl`me.
e
– Les r´sultats de calcul doivent ˆtre simplifi´s et encadr´s.
e
e
e
e
– Les calculs doivent ˆtre d´taill´s et expliqu´s ` l’aide de phrases en Fran¸ais :
e
e
e
e a
c– Les notations de l’´nonc´ doivent ˆtre respect´es ;
e
e
e
e

1

On d´finit l’intervalle I = [0, + ∞[ et on note N l’ensemble des fonctions f : I → R v´rifiant :
e
e
1. f (0) = 0,
2. ∀x ∈ I, f (x) ≥ 0,
3. f est deux fois d´rivable sur I,
e
4. ∀x ∈ I, f (x) ≥ 0.

1

Comportement ` l’infini des fonctions de N
a

Pour une fonction f ∈ N , on d´finit la fonction
e
]0, + ∞[

Q1 On
a.
b.
c.

−→

x

g:



R
f (x)
x

consid`re dans cette question la fonction f d´finie sur I par f (x) = x − th x.
e
e
V´rifier que f ∈ N .
e
D´terminer la limite lorsque x → +∞ de f et de g.
e
´
Etudier l’existence d’une droite asymptote ` la courbe repr´sentative de f . On pr´cisera la position de la
a
e
e
courbe par rapport ` l’asymptote ´ventuelle.
a
e

Q 2On consid`re dans cette question la fonction f d´finie sur I par f (x) = x arctan(x) −
e
e
a.
b.
c.

1
ln(1 + x2 ).
2

V´rifier que f ∈ N .
e
Calculer les limites de f et de g en 0 et en +∞.
´
Etudier l’existence d’une droite asymptote ` la courbe repr´sentative de f au voisinage de +∞.
a
e

f (x)
− − − +∞.
− −→
x x→+∞
On consid`re d´sormais une fonction f ∈ N quelconque.
ee

Q 3 Donner un exemple de fonction f ∈ N telle que

Q4
a. Montrer que ∀x ∈ I,

f (x) ≤ xf (x)

(1)

b. En d´duire que la fonction g est croissante sur l’intervalle ]0, + ∞[.
e
Q 5 Montrer que ∀(x,y) ∈ I 2 , f (x) + f (y) ≤ f (x + y).
Q 6 On suppose dans cette question que g(x) − − − +∞. Montrer que f (x) − − − +∞.
− −→
− −→
x→+∞

x→+∞

Q 7 On suppose dans cette question quef (x) − − − +∞.
− −→
x→+∞

a. Soit x > 0. Montrer que

x
f (x/2) ≤ f (x) − f (x/2) ≤ f (x)
2

(2)

b. En d´duire que g(x) − − − +∞.
e
− −→
x→+∞

Q 8 On suppose dans cette question que f n’est pas constante et que g ne tend pas vers +∞ lorsque x → +∞.
a. Montrer qu’il existe a > 0 tel que f (x)



x→+∞

ax.

b. Montrer qu’il existe l ∈ R tel que f (x) − − − l.
− −→
x→+∞c. En utilisant la question 7a, montrer que l = a.
d. Montrer qu’il existe b ∈ R ∪ {−∞} tel que f (x) − ax − − − b.
− −→
x→+∞

e. Dans le cas o` b ∈ R, montrer que la courbe repr´sentative de f poss`de une droite asymptote au voisinage
u
e
e
de +∞ et pr´ciser la position de la courbe par rapport ` son asymptote.
e
a

2

L’ensemble M(f )

Soit une fonction f : I → R. On...
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