Corrigé de l'épreuve de mathématiques du BTS IRIS mai 2010 par Jean-Robert Exercice 1 Partie A

A4 ; 0 , S 12 ; 6 , R0 ; 6 , O 0 ; 0  ∑ B t  OM t = OAi i,n i=0 n

avec

B i ,n t =C in t i 1−t n−i

1.

B 2,3 t =C 2 t 2 1−t =3 t 2 1−t =−3t 33t 2 3
2.

B 0,3 t =−t 33t2 −3t1 B 1,3 t =3t 3−6t 2 3t B 3,3 t =t 3 n  ∑ B t  = x t  =−t 33t 2−3t1 4 3t 3−6t 2 3t  12 −3t3 3t 2  0 t 3 0 OM t = OAi i,n 0 6 6 0 y t  i=0 3 2 3 2 x t  = −4t 12t −12t436t −72t 36t y t  18t 3−36t 218t−18t3 18t 2

 



 



{
3.

x t = f 1 t =32t −60t 24t4 y t = g 1 t =−18t2 18t

3

2

4.

g ' 1 t =−36t18 g ' 1 t =0 ⇒ t 1= 1 2

On rencontre un extremum là où la dérivée s'annule.

é T
5.

Lorsque t < 0,5 la dérivée est positive, la courbe croit. Lorsque t > 0,5 la dérivée est négative, la courbe décroit. Il s'agit bien d'un maximum.

h c lé

é rg a

h r su

/w :/ tp t

w

w

.

x  e id a

.c m a

m o

 

f ' 1 t =96t 2−120t24

On recherche les racines de f'1(t) = 0 En utilisant la méthode du discriminant, il vient :

96t 2−120t24=0 ⇔ 4t 2−5t1=0

1/5

1 =9 ⇒ t ' = 4 t ' ' =1
Donc

{

t 0=

Lorsque t < 0,25 la dérivée est positive, la courbe croit. Lorsque t > 0,25 la dérivée est négative, la courbe décroit. Il s'agit bien d'un maximum. 6.

1 4

 8 AS= 6


 0= OM OA  0= 24 OM ' 18

Le point A correspond au paramètre t = 0. La tangente en A s'obtient en calculant Le vecteur Donc Partie B

 
 0 OM '
.

 AS

 AS

est colinéaire au vecteur tangent à la courbe en A

est tangent à la courbe en A.

O 0 ; 0 , E 0 ; a , F G 1 ;−
1.



3 2



tel que

4 ;−2 , A4 ; 0 3  1 = OM  OG  2





{

x t = f 2 t =4 t 2 y t = g 2 t =3a2t 3 −6 a1t 23 at

Donc

 1 = OM  OG  2 3 2 1 1 1 1 1 3 ⇒y = g2 =3a2 −6a1 3a =− 2 2 2 2 2 2 1 1 3a 3