D

C

I J

A

B

m 1. Étudier un barycentre

Soit C le barycentre du système { ( A ; m ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) }. D’après l’associativité du barycentre, C est aussi le barycentre du système { ( A ; m ) ; ( I ; 2 ) } car I est le milieu du segment [ BD ] . On a donc l’égalité suivante mCA + 2CI = 0 . Or I est le milieu du segment [ CA ] , d’où mCA = 2mCI et ainsi 2mCI + 2CI = 0 . www.annabac.com © H A T I E R 2009

on a donc ( 2m + 2 ) CI = 0

d’où 2m = – 2 m = – 1 car CI ≠ 0 . La proposition c) est la bonne réponse. m 2. Étudier des transformations

• Soit K le milieu de [ IB ]. Comme I est le milieu de [ DB ] , on en déduit 1 que IK = -- DB. 4 J est le milieu de [ IA ]. Dans le triangle IAB, d’après le théorème des milieux, la droite ( JK ) , passant par les milieux des côtés [ IA ] et [ IB ], est parallèle à la droite ( AB ). 1 On a aussi, KJ = -- BA et KJ et BA ont même sens. On en déduit que 2 1 KJ = -- BA . 2 • D’après la relation de Chasles, IJ = IK + KJ . 1 1 Par conséquent, IJ = -- BA + -- DB , ce qui entraîne que J est l’image de 2 4 1 1 I par la translation de vecteur -- BA + -- DB. 2 4 La proposition d) est la bonne réponse. m 3. Étudier et caractériser un ensemble de points

I est le milieu de [ AC ] , d’où MA + MC = 2MI . Ainsi MA + MC = 2MI = 2MI . L’ensemble des points M du plan cherché est donc le cercle de centre I et 1 de rayon -- AB . C’est donc le cercle inscrit dans le carré ABCD. 2 La proposition d) est la bonne réponse. m 4. Étudier et caractériser un ensemble de points

• Soit G le barycentre du système { ( A ; 2 ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) } . On a donc : 2GA + GB + GD = 0 2GA + GA + AB + GA + AD = 0 4GA + AB + AD = 0 1 1 AG = -- AB + -- AD . 4 4 D’où G = J. www.annabac.com © H A T I E R 2009

• Soit M un point du plan. On a d’une part MA – MC = CA . D’autre part, 2MA + MB + MD = 4MJ car J est le barycentre du système { ( A ; 2 ) ; ( B ; 1 ) ; ( D ; 1 ) } . Attention, le produit scalaire de deux vecL’égalité