Partie I
Suites arithmétiques

Définition.
Une suite (an)n∈N de nombres réels est dite ”arithmétique” si, en dehors du premier terme de la suite, chaque autre terme se déduit du précédent par addition d’un réel constant. Le réel constant est appelé raison de la suite,

Soit ak un terme quelconque de la suite, et r la raison de la suite

ak = ak -1 + r

Propriétés.

a) lien entre les termes et le premier terme
* si a1 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel non nul : an = a1 + (n − 1)r
* si a0 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel : an= a0+nr

b) somme S des termes d’une progression arithmétique:

S = (nbre de termes) X (1er) + X raison x raison

S = n x a1 + x r

ou encore S = (nbre de termes) ×

S = n x

Partie III
Suites géométriques et intérêts composés.

6 Définition.

Une suite de nombres réels (an)n∈N est dite géométrique si chaque terme, sauf le premier se déduit du précédent en multipliant ce dernier par une constante appelée la raison de la suite géométrique.

Soit a1 le terme initial, et ak un terme quelconque de la suite, avec ak ≠ a1, et q la raison de la suite, qui est un réel,

ak = ak-1 X q

8 Propriétés.

8.1 Lien entre les termes et le premier.

* si a1 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel non nul : an = a1 × qn−1

* si a0 est le premier terme, alors pour tout n entier naturel : an = a0 × qn

8.2 Somme Sn des n premiers termes d’une suite géométrique

1er cas: si le premier terme est a1, et n le nombre de termes successifs, dont on fait la somme, alors on a :

Sn = a1 × si q est différent de 1

Démonstration
Sn = a1 + a2 + ... + an

Sn = a1 + q ∗ a1 + q2 ∗ a1 + ... + qn−1 ∗ a1

Sn = a1 × [ 1 + q + q2 + ... + qn−1] ou Sn = a1 × Σ

avec Σ = [ 1 + q + q2 + ... + qn−1]

Calculons d’abord Σ et ensuite Sn tel que Sn = a1 × Σ

Σ = [ 1 + q + q2 + ... +