Maths

Pages: 6 (1355 mots) Publié le: 6 juin 2013
Suites géométriques
I) Définition
Soit est un nombre entier naturel.

Soit

une suite. On dit qu’elle est géométrique si, partant du , pour passer d’un terme au suivant, on

TERME INITIAL

MULTIPLIE toujours par le même nombre appelé RAISON
Exemple: Une voiture, achetée neuve coûtait 20 000 € (en 2008), perd chaque année 20% de sa valeur. • Au bout d’un an : la voiture coûtait 20% moins cher : 20000 (1 ) = 20 000 0,8 = 16 000. En 2009 la voiture coûtera 16 000 €. )=

• Au bout de deux ans la voiture a perdu encore 20% de sa valeur : 16 000 (1 16 000 0,8 = 12 800. En 2010 la voiture coûtait 12 800 €.

• Au bout de trois ans la voiture a perdu encore 20% de sa valeur : 12 800 (1 12 800 0,8 = 10 240. En 2011 la voiture coûtait 10 240.€.

)=

Et ainsi de suite … on multiplie la valeurde la voiture de l’année précédente par 0,8 pour obtenir celle de l’année suivante. Soit la valeur de la voiture en 2008. = 20 000 = = 0,8 0,8 = 16 000 0,8 = 12 800 est la valeur de la voiture au bout d’un an c'est-à-dire Soit la valeur de la voiture au bout de années, =

est la valeur de la voiture au bout de deux ans c'est-à-dire

Cette suite est géométrique : On passe d’un terme au suivant enmultipliant toujours pas le même nombre (dans notre cas 0,8)

Algorithme :


dans cet algorithme

Cet algorithme permet d’obtenir les premiers termes d’une suite géométrique. Déclaration des variables : i , n entiers ; u , q réels ;  Instructions d’entrée : Entrer la valeur de l’entier n ; n est le rang du dernier terme que l’on veut obtenir Entrer la valeur du réel u et celle du réel q ; u estle terme initial, q la raison  Traitement des données : Pour i variant de 0 à n Afficher u ; Affecter à u la valeur de u q ; Fin de la boucle Pour ;  Fin de l’algorithme. Les affichages successifs donnent les valeurs des termes de la suite

II) Les deux formules de calculs de termes.
est une suite géométrique de premier terme et de raison q

Soit

, une suite, et

un entier naturel supérieurou égal à

,.

On passe d’un terme au suivant en multipliant toujours par la même valeur appelée raison:

On peut obtenir directement la valeur de appliquant la formule suivante :

à partir de celle de

en

Cas particulier où le 1er rang est 0 :
Remarques: La première formule s’appelle formule de récurrence. Elle traduit exactement la définition de suite géométrique. En revanche, elle estincommode dans le cas où il s’agit de calculer un terme de rang élevé. Par exemple, pour calculer nombre . C’est inefficace ! Il convient dans ce cas d’employer la seconde formule, appelée formule directe. Les deux formules sont équivalentes : toute suite qui, pour tout entier , vérifie l’une des formules vérifie l’autre. Exemples : Exemple 1 : Soit la suite ( ) définie par: = 3 et =2 à partir de , ilfaut effectuer 28 multiplications par le

1) Justifier que cette suite est géométrique 2) Calculer 3) Calculer Réponse : = 3 . On passe d’un terme au suivant en 1) Pour tout n appartenant à , multipliant toujours par 3 , la suite est donc géométrique de raison 3 et de 1er terme 2 ; ; puis

en fonction de n

2)

= = =

3=2 3=6 3 = 18

3=6 3 = 18 3 = 54

= = =

6 54

18

On applique la 2ème formule: = = 2 3) = 315 315 = 28 697 814 = 2 × 3n

× 3n

Exemple 2 : Soit la suite ( = et =3

) définie par:

1) Justifier que cette suite est géométrique 2) Calculer 3) Calculer Réponse : 1) Pour tout n appartenant à multipliant toujours par , = . On passe d’un terme au suivant en et de 1er terme 3 . ; ; puis

en fonction de n

.La suite est donc géométrique de raison

2)

= = =

= = = , ,

= 1,5 =0,75 = 0,75

=

1,5 0,75 0,375

=

=

On applique la 2ème formule : = le 1er terme de la suite est au lieu de

La suite a donc un terme de moins donc la formule est = 3 =

3)



1

1

3

Exemple 3 : Soit ( ) la suite géométrique définie sur de Déterminer la raison et le 1er terme Réponse :

par

= 4 et

= 32.

est une suite géométrique de raison q. Pour tous entiers m et n : = = 32 = 4...
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