Cour d'algèbre

Pages: 38 (9395 mots) Publié le: 28 mai 2012
'Universit´ Paris IX Dauphine e ´ UFR Math´matiques de la decision e Notes de cours

ALGEBRE 2
Guillaume CARLIER

L1, ann´e 2006-2007 e

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Ce support de cours est bas´ sur le poly de Tristan Tomala des ann´es e e pr´c´dentes. e e

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Table des mati`res e
1 Espaces vectoriels 1.1 Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Sous-espaces vectoriels . . . . . . . . . .. 1.3 Bases d’un espace vectoriel . . . . . . . . . 1.4 Somme directe de sous-espaces vectoriels . 1.5 Somme directe de k sous-espaces vectoriels 7 7 8 8 11 13 14 14 15 16 17 17 18 18

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e 2 Applications lin´aires 2.1 D´finitions et vocabulaire . . . . . . . . . . . . . e 2.2 Propri´t´s ´l´mentaires . . . . . . . . . . . . . . . e e ee 2.3 Image et noyau d’une application lin´aire . . . . . e 2.4 Cas de la dimension finie : le th´or`me du rang . e e 2.4.1 Le th´or`me du rang et ses applications . . e e 2.4.2 Le th´or`me du rang si dim(E) = dim(F ) e e 2.5Projections . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Repr´sentation matricielle e 20 3.1 Caract´risation d’une application lin´aire par l’image d’une base 20 e e 3.2 Matrices et applications lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . 20 e 3.2.1 Liens avec le calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.2 Produit de matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 3.2.3 Ecriturematricielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.3 Rang d’une matrice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 3.4 Changement de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4.1 Action d’un changement de base sur les composantes d’un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 e 3.4.2 Action d’un changement de base sur la matrice repr´sentant e uneapplication lin´aire . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 3.4.3 Matrices semblables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 e e 3.5 Retour aux syst`mes lin´aires . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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4 D´terminants e 4.1 Formes m-lin´aires altern´es . . . . . . e e 4.2 D´terminants . . . . . . . . . . . . . . e 4.2.1 D´finition et propri´t´s admises e ee 4.3 Le th´or`me fondamental . . . . . . .. e e 4.4 Calcul pratique du d´terminant . . . . e

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5 Diagonalisation des matrices et des endomorphismes 5.1 Valeurs propres et vecteurs propres d’un endomorphisme 5.2Valeurs propres et vecteurs propres d’une matrice . . . . 5.3 Endomorphismes et matrices diagonalisables . . . . . . . 5.3.1 Endomorphismes diagonalisables . . . . . . . . . 5.3.2 Matrices diagonalisables . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Polynˆme caract´ristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e 5.4.1 Le polynˆme caract´ristique . . . . . . . . . . . . o e 5.4.2 Multiplicit´ g´om´trique etmultiplicit´ alg´brique e e e e e valeurs propres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Calcul des puissances d’une matrice . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . des . . . .

. 35 . 36

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Chapitre 1 Espaces vectoriels
On traite dans ce qui suit le cas r´el, le cas complexe se traitant de mani`re e e similaire.

1.1

Espaces vectoriels

D´finition 1.1 Un espacevectoriel sur R est un triplet (E, +, .) o` e u – E est un ensemble, – “+” une loi de composition interne : E × E → E telle que (´l´ment neutre) ∃0E ∈ E avec ∀x ∈ E, x + 0E = 0E + x = x ee (oppos´) e ∀x ∈ E, ∃(−x) ∈ E avec x + (−x) = (−x) + x = 0E e ∀(x, y, z) ∈ E 3 , x + (y + z) = (x + y) + z (associativit´) (commutativit´) ∀(x, y) ∈ E 2 , x + y = y + x e – “.” est une loi externe : R × E → E telle...
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