Les mots jean-paul sartre

Pages: 9 (2180 mots) Publié le: 22 avril 2013
18 février 2013

Les fonctions sinus et cosinus

Table des matières
1 Rappels 1.1 Mesure principale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Signe des lignes trigonométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Fonctions sinus et cosinus 2.1 Définition . . . . . . . . . 2.2 Propriétés . .. . . . . . . 2.2.1 Parité . . . . . . . . 2.2.2 Périodicité . . . . . 2.2.3 De sinus à cosinus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 6 6 6 6 7

3 Étude des fonctions sinus et cosinus 3.1 Dérivées . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Application aux calculs de limites . 3.3 Variation . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Courbes représentatives . . . . . . 3.5 Compléments . . . . .. . . . . . .

4 Application aux ondes progressives 4.1 Onde sonore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

PAUL M ILAN

1

T ERMINALE S

1

RAPPELS

1 Rappels
1.1 Mesure principale
Définition 1 : On appelle mesure principale d’un angle α, la mesure x qui se trouve dansl’intervalle ] − π; π ] Exemple : Trouver la mesure principale des angles dont les mesures sont : 17π 31π et − 4 6  • est un mesure trop grande (> π), il faut donc lui enlever un certain nombre k de tours (2π) pour obtenir la mesure principale : π (17 − 8k ) π 17π − k 2π = = 4 4 4 avec k=2
17π 4

• − 31π est une mesure trop petite( −π), il faut donc lui rajouter un certain 6 nombre kde tours (2π) pour obtenir la mesure princimale :



π (−31 + 12k ) 5π 31π + k 2π = = 6 6 6

avec

k=3

1.2 Résolution d’équations
Théorème 1 : Équations trigonométriques • L’équation cos x = cos a admet les solutions suivantes sur R : x = a + k 2π ou x = − a + k 2π avec k ∈ Z

• L’équation sin x = sin a admet comme solutions suivantes sur R : x = a + k 2π ou x = π − a + k 2π avec k∈ Z Exemple : Résoudre dans R les équations suivantes : √ √ a) 2 cos x − 1 = 0 b) 2 sin x − 3 = 0  1 π cos x = √ ⇔ cos x = cos 4 2 π π On obtient les solutions : x = + k 2π ou x = − + k 2π avec k ∈ Z 4 4 √ √ π 3 ⇔ sin x = sin b) 2 sin x − 3 = 0 ⇔ sin x = 2 3 On obtient les solutions : π 2π π + k 2π avec k ∈ Z x = + k 2π ou x = π − + k 2π = 3 3 3 a) 2 cos x − 1 = 0



⇔PAUL M ILAN

2

T ERMINALE S

1.3

S IGNE DES LIGNES TRIGONOMÉTRIQUE

1.3 Signe des lignes trigonométrique
Théorème 2 : On a sur ] − π ; π ], sin x > 0 cos x > 0
π 2

sin x > 0 0 O cos x > 0

⇔ ⇔

x ∈]0 ; π [ x∈ − π π ; 2 2

π

−π 2

2 Fonctions sinus et cosinus
2.1 Définition
Définition 2 : À tout réel x, on associe un point unique M du cercle unité ou cercletrigonométrique de centre O, dont les coordonnées sont : M (cos x ; sin x )
sin x x O cos x M

Définition 3 : On appelle fonctions sinus et cosinus les fonctions respectives : x → sin x Remarque : ∀ x ∈ R et 1 et x → cos x

−1

sin x

−1

cos x

1

2.2 Propriétés
2.2.1 Parité

Théorème 3 : D’après les formules de trigonométrie, • La fonction sinus est impaire : ∀ x ∈ R • La fonction cosinusest paire : ∀ x ∈ R sin(− x ) = − sin x cos(− x ) = cos x

Conséquence La courbe représentative de la fonction sinus est symétrique par rapport à l’origine, et la courbe représentative de la fonction cosinus est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées.
PAUL M ILAN 3 T ERMINALE S

3

ÉTUDE DES FONCTIONS SINUS ET COSINUS

2.2.2

Périodicité

Théorème 4 : D’après la définition...
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