Cours maths

´ Universite Paris 8 U.F.R. L.I.T.

´ ´ Introduction aux maths generales — B. Mariou Automne 2004

Cours d’introduction aux math´matiques g´n´rales e e e
premi`re partie e

0 Lire et ´crire des math´matiques e e
— Les phrases 2 — Les paragraphes 4 — D´montrer 6 e

2 8 14 18

1 Ensembles et applications
´e — La th´orie axiomatique des ensembles 8 — El´ments de th´orie na¨ desensembles 9 — Applications 11 e e ıve

2 Les entiers naturels
— L’ensemble I et la r´currence 14 — Ensembles finis 15 N e

3 Arithm´tique e
— Divisibilit´ et division euclidienne 18 — Plus grand commun diviseur 19 — Th´or`me de Bezout 20 — Nombres e e e premiers 22

4 Structures alg´briques g´n´rales e e e
— Relations binaires et lois internes 24 — Groupes 25 — Anneaux et corps 27

24 29

5 Lecorps des r´els e
— Ses ´l´ments, ses op´rations, son ordre, sa compl´tude 29 — Propri´t´ d’Archim`de, rationnels dans I 30 — ee e e ee e R Intervalles r´els 31 e

Benoˆ Mariou — octobre 2004 — documents disponibles sur http://ufr6.univ-paris8.fr/lit-math/maths/BM/cours.html ıt

Chapitre 0. Lire et ´crire des math´matiques e e ´ ´ 0 — LIRE ET ECRIRE DES MATHEMATIQUES

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Un cours demath´matiques est un discours dans une langue particuli`re. Cette langue est proche de la langue e e naturelle mais elle comporte aussi une partie purement symbolique. Qu’il vienne du langage courant ou qu’il soit symbolique, un terme du discours math´matique a toujours un sens e pr´cis et son utilisation est codifi´e. e e Voici quelques unes des r`gles les plus usit´es. Leur connaissance vouspermettra, d’abord de lire correctement e e chacune des phrases d’un texte math´matique (§1), ensuite de vous rep´rer dans le texte en en maˆ e e ıtrisant la structure (§2), enfin de produire vous mˆmes un discours rendant compte d’un raisonnement (§3). e

1

Les phrases.

Dans un texte math´matique, la plupart des phrases concernent des objets ou des propri´t´s math´matiques. e ee e • Certaines deces phrases sont volontairement ´crites en langue naturelle afin de commenter, introduire, e reformuler des notions purement techniques. Ici, on ne s’attarde pas sur ce type de phrases ; mais il faut bien garder ` l’esprit que cette partie non symbolique du discours a pour but d’aider le lecteur ` comprendre la a a partie symbolique. • Les phrases techniques remplissent g´n´ralement une des deuxfonctions suivantes : e e 1. 2. Exemples. 1) D´finitions/Notations. e a) ”Pour x nombre r´el, la valeur absolue de x est le plus grand des deux nombres x et −x.” e Cette phrase d´finit la notion de valeur absolue du r´el x. e e b) ”Un entier est pair s’il est divisible par 2.” Cette phrase d´finit la propri´t´ ”ˆtre pair” pour les entiers. e ee e c) ”Posons a =
1 t2 e dt.” 0

(d´finition/notation) e(assertion)

Nommer ou d´finir un objet ou une propri´t´. e ee Affirmer qu’une propri´t´ est vraie. ee

d) ”Notons I l’intervalle [0, 1].” e) ”Si x est un nombre r´el, |x| d´signe la valeur absolue de x.” e e Ces trois derni`res phrases introduisent des notations : nouvelles repr´sentations symboliques d’objets/proe e pri´t´s d´j` d´finis. ee ea e f) ”Soit x un r´el strictement positif.” e Iciencore, il s’agit d’une notation : on sait qu’il existe des r´els strictement positifs, on en consid`re un, on e e le nomme x. Dans tous les cas, les d´finitions/notations peuvent ˆtre ´vit´es : ce sont des raccourcis permettant de nommer e e e e bri`vement des concepts complexes. e 2) Assertions. 27 − 2 est entier.” 7 b) ”Il existe un nombre entier premier sup´rieur ` 2100 .” e a a) ”Le nombre c)”Pour tout nombre r´el x tel que x2 > 2, on a x > 1.” e d) ”Pour tout entier n, n est pair si et seulement si n2 est multiple de 4.” Les assertions (ou propositions) sont des phrases susceptibles d’ˆtre vraies ou fausses. En g´n´ral, on n’´crit e e e e

Chapitre 0. Lire et ´crire des math´matiques e e

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que des assertions vraies. Tout le travail math´matique consiste ` justifier cette...