Cours probabilités

Pages: 11 (2737 mots) Publié le: 27 janvier 2010
PROBABILITÉS CONDITIONNEMENT ET INDÉPENDANCE

I.

PROBABILITÉS ( RAPPELS) 1. Expériences aléatoires et modèles

Le lancer d’une pièce de monnaie, le lancer d’un dé … sont des expériences aléatoires, car avant de les effectuer, on ne peut pas prévoir avec certitude quel en sera le résultat, résultat qui dépend en effet du hasard. A cette expérience aléatoire, on associe l’ensemble desrésultats possibles appelé univers. Ses éléments sont appelés éventualités. ♦ ♦ ♦ ♦ Les sous-ensembles de l’univers Ω sont appelés événements. Les événements formés d’un seul élément sont appelés événements élémentaires. Etant donné un univers Ω, l’événement Ω est l’événement certain. L’ensemble vide est l’événement impossible.

♦ L’événement formé des éventualités communes à A et B est noté A ∩ B . ♦L’événement formé des éventualités qui sont dans A ou dans B ou dans les deux est noté A ∪ B . ♦ Etant donné un univers Ω et un événement A, l’ensemble des éventualités qui ne sont pas dans A constitue un événement appelé événement contraire de A, noté A . ♦ A et B sont incompatibles si et seulement si A ∩ B = ∅ . Remarque : Pour décrire mathématiquement une expérience aléatoire, on choisit unmodèle de cette expérience ; pour cela on détermine l’univers et on associe à chaque événement élémentaire un nombre appelé probabilité.

Loi des grands nombres (énoncé expérimental) Quand on répète un grand nombre de fois une expérience aléatoire pouvant conduire à des résultats a1, a2, …, an, la fréquence de réalisation de chaque événement élémentaire {ai} se stabilise aux environs d’un nombre picompris entre 0 et 1. Ce nombre peut être considéré comme la probabilité de réalisation de l’événement {ai}.

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2. Probabilités sur un ensemble fini a) Définition Soit Ω = {a1, a2, …, an} un ensemble fini. ♦ on définit une loi de probabilité sur Ω si on choisit des nombres p1, p2, …, pn tels que, pour tout i, 0 ≤ pi ≤ 1 et p1 + p2 + … + pn = 1 ; pi est la probabilité élémentaire del’événement {ai} et on note pi = p({ai}) ou parfois plus simplement p(ai). ♦ pour tout événement E inclus dans Ω, on définit p(E) comme la somme des probabilités des événements élémentaires qui définissent E. b) Propriétés des probabilités Parties de E
A ∅ E A∩B=∅
A A, B

Vocabulaire des événements
A quelconque Evénement impossible Evénement certain A et B sont incompatibles
A est l’événement contrairede A A et B quelconques

Propriété 0 ≤ p(A) ≤ 1
p(∅) = 0 p(E) = 1 p( A ∪ B) = p(A) + p(B) p( A ) = 1 – p(A) p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p( A ∩ B)

c) Equiprobabilité Définition : On dit qu’il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité. Calculs dans le cas d’équiprobabilité
Dans une situation d’équiprobabilité, si Ω a n éléments et si E est un événementcomposé de m card E où card E et card Ω désignent respectivement événements élémentaires ( donc m ≤ n) : p(E) = card Ω le nombre d’éléments de E et de Ω. On le mémorise souvent en disant que c’est le nombre de cas favorables divisé par le nombre de cas possibles. Remarque :Les expressions suivantes « dé équilibré ou parfait », « boule tirée de l’urne au hasard », « boules indiscernables » … indiquentque, pour les expériences réalisées, le modèle associé est l’équiprobabilité . Exercice : On considère l’ensemble E des entiers de 20 à 40. On choisit l’un de ces nombres au hasard. A est l’événement : « le nombre est multiple de 3 » B est l’événement : « le nombre est multiple de 2 » C est l’événement : « le nombre est multiple de 6 ». Calculer p(A), p(B), p(C), p(A ∩ B), p(A ∪ B), p(A ∩ C) etp(A ∪ C). ………….

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d) Paramètres associés Si les issues de l’expérience aléatoire sont des nombres réels, on peut définir les nombres suivants : l’espérance mathématique de la loi de probabilité est le nombre µ défini par : µ = la variance de la loi de probabilité est le nombre V défini par : V =

∑p a
i =1

n

i i

-

∑ p (a − µ)
i i i =1

n

2

l’écart - type de la...
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