Chapitre 7: Les Asymptotes

I. Asymptote verticale

Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a.

Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] ( 2 ; + ([ , dont la courbe représentative est :

La droite D étant parallèle à l’axe des ordonnées on dit alors que D est une asymptote verticale à la courbe de f au voisinage de 2.

Remarque : Il existe aussi des fonctions qui ont pour limite ( ∞ quand x tend vers un réel a, dans ce cas également la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe.

Les différents cas :

|[pic] |[pic] |[pic] |[pic] |

DEFINITION :

Soit a un réel, dire que la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe représentative de la fonction f signifie que la limite de f (x) est infinie quand x tend vers a. Soit [pic]

II. Asymptote horizontale

Soit f la fonction définie sur ………. par [pic]. Nous avons [pic] soit [pic].

Ainsi quand x tend vers ( (, ou vers + (, f (x) prend des valeurs de plus en plus proche de 2.
Intuitivement cela signifie qu’en allant vers ( ( ou vers + ( , la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite Δ d’équation y = 2.

La droite Δ étant parallèle à l’axe des abscisses, on dit alors que Δ est une asymptote horizontale à la courbe de f .

Pour déterminer, les positions relatives de la courbe représentative de la fonction f et de l’asymptote Δ d'équation y = 2, intéressons nous au signe de la différence f (x) ( 2.

[pic] or : pour x < ( 1, [pic] et la courbe est au dessus de l’asymptote quand x ( (( pour x > ( 1, [pic] et la courbe est au dessous de l’asymptote quand x ( + (

Remarque :
[pic]
Or