Cours sur les asymptotes

Pages: 5 (1069 mots) Publié le: 28 novembre 2012
Chapitre 7: Les Asymptotes


I. Asymptote verticale

Certaines fonctions n'existent qu'à partir d'un certain réel a sans être nécessairement définie en a. Il est alors utile d’étudier la limite de cette fonction quand x se rapproche de cette valeur a.


Par exemple, considérons la fonction f définie sur l'intervalle ] ( 2 ; + ([ , dont la courbe représentative est :La droite D étant parallèle à l’axe des ordonnées on dit alors que D est une asymptote verticale à la courbe de f au voisinage de 2.


Remarque : Il existe aussi des fonctions qui ont pour limite ( ∞ quand x tend vers un réel a, dans ce cas également la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe.



Les différents cas :

|[pic] |[pic]|[pic] |[pic] |

DEFINITION :

Soit a un réel, dire que la droite d’équation x = a est asymptote à la courbe représentative de la fonction f signifie que la limite de f (x) est infinie quand x tend vers a. Soit [pic]





II. Asymptote horizontale

Soit f la fonction définie sur ………. par [pic].
Nousavons [pic]
soit [pic].

Ainsi quand x tend vers ( (, ou vers + (, f (x) prend des valeurs de plus en plus proche de 2.
Intuitivement cela signifie qu’en allant vers ( ( ou vers + ( , la courbe représentative de la fonction f se rapproche de plus en plus de la droite Δ d’équation y = 2.

La droite Δ étant parallèle à l’axe des abscisses, on dit alors que Δ est une asymptote horizontale à lacourbe de f .






Pour déterminer, les positions relatives de la courbe représentative de la fonction f et de l’asymptote Δ d'équation y = 2, intéressons nous au signe de la différence f (x) ( 2.

[pic]
or :
pour x < ( 1, [pic] et la courbe est au dessus de l’asymptote quand x ( ((
pour x > ( 1, [pic] et la courbe est au dessous de l’asymptote quand x ( + (

Remarque :
[pic]
Orla différence f (x) ( 2 représente la différence d'ordonnées entre un point de la courbe de f et le point de même abscisse de l'asymptote Δ.
Ainsi plus x devient grand (en valeur absolue) et plus la distance entre la courbe de f et l'asymptote Δ devient petite.
Cela vérifie ce que l'on constatait sur le graphique...
Une courbe peut s’approcher de l’asymptote par des valeurs inférieures, soitpar des valeurs supérieures, ou encore par des valeurs alternativement supérieures et inférieures.

Les différents cas :

| | |
| ||
| | |
| | |
| ||
| | |
|[pic] et pour x < m [pic]> 0 alors C est au dessus de ( |[pic] et pour x < m [pic]< 0 alors C est au dessous de ( |
|[pic] et pour x > m [pic]> 0alors C est au dessus de ( |[pic] et pour x > m [pic]< 0 alors C est au dessous de ( |


DEFINITION :

Soit b un réel, lorsque [pic] alors la droite Δ d’équation y = b est asymptote à la courbe C f représentative de la fonction f au voisinage de + ( ( resp. ( ()
L’étude du signe de f (x) ( b permet de préciser la position relative de la courbe par rapport à...
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