Chapitre III Intégration et dérivation numérique des FonctionsChapitres IV Dérivation et Intégration Numérique
CHAPITRE IV
DÉRIVATION ET INTÉGRATION NUMÉRIQUE
IV.1 Dérivation numérique :
Par définition la dérivé d’une fonction f(x) en un point x0 continu sur un intervalle se résume au calcul de la limite suivante : f ' (x0)=lim x→ x0 f (x )−f (x0) x−x0 (IV.1)
Le problème numérique de cette forme et l’impossibilité de représentation numérique d’une limite . En plus en pratique il est possible …afficher plus de contenu…

IV.2.2 Méthode de Trapèze :
Dans cet méthode on substitue la surface I par la surface du trapèze formé par les point
(a,f(a))et (b,f(b),) (figure IV.4) :
Figure IV.4 : Méthode de trapèze.
Dans ce cas la surface I peut être approximé par :
I=
(b−a)
2
( f (a)+ f (b)) (IV.21) le même résultat peut être obtenue analytiquement par interpolation de la fonction f(x) sur
[a,b] en utilisant les points (a, f(a)) et (b, f(b)) : f (x)= f (a)+
( f (b)−f (a))
(b−a)
(x−a) on intégrant ce polynôme sur l’intervalle [a,b] on obtient :
I=∫
a b f (x)dx=∫ a b f (a)dx+
(f (b)−f (a))
(b−a) ∫ …afficher plus de contenu…

−1
1
t 3 dt= 1
4
t 4 | 1
−1
=0=C1 t1
3+C2t 2
3
En résolvant l’ensemble des équations obtenues on trouve :
C1=C2=1 et t1=
−1
√3
, t2=
1
√3
I=∫
−1
1
f ( t )d= f (−1
√3
)+ f ( 1
√3
) (IV.35)
Exemple : calculer par la méthode de Gausse l’intégrale I=∫
−1
1 e−t dt
I=∫
−1
1
e−t dt=e
−1
√3 +e
1
√3=2.3426 la solution exact est :
I ex=∫
−1
1 e−t dt=e1−e−1=2.3504
IV.2.7 Méthode de quadrature de Gauss générale : en générale l’intégrale chercher soit sur l’intervalle [a,b] donc pour un problème générale :
I=∫
a b f (x)dx=∑
1
n
C i f (x i) (IV.36)
41Chapitres IV Dérivation et Intégration Numérique
Un changement de variable est nécessaire :
Posant x=mt+c alors par substitution on trouve : m=b−a 2 et c=b+a
2
donc x=b−a
2
t + b+a
2
Alors :
I=∫
a b f (x)dx=m∫
−1
1 f (mt+c)dt (IV.37)
Exemple :
I=∫