y

8
Intégrales

Intégrales et calculs d’aires
-1

Alors :

4

3

A
2 1

A = ⌠ b f(x) dx u.a. ⌡a x 0

1) LES RESULTATS b Intégrale de a à b de la fonction f = ⌡ b f(x) dx = [ F(x) ] a = ⌠a F(b) – F(a) où F est une primitive quelconque de f sur [ a ; b ] ;

0

1

2

3

4

5

6

7

(si le repère a comme unité 2 cm sur (Ox) et 3 cm sur (Oy) alors 1 u.a. = 6 cm².)

2) LES METHODES
1 1 ) dx et ⌡ 4 ( x – )dx ⌠1 x² x …………………………………………………………………… …………………………………………………………………….. Calculer ⌡ 2 (3x² + 2x – ⌠
1

⌠aa ⌡ ⌠ab ⌡

⌠ba f(x) dx = – ⌠ab f(x) dx ⌡ ⌡ c f(x) dx = c f(x) dx (Relation de Chasles) f(x) dx + ⌠ ⌠a ⌡b ⌡ b ( α f(x) + β g(x) ) dx = α b f(x) dx + β b g(x) dx ⌠a ⌠a ⌠a ⌡ ⌡ ⌡ b f(x) dx ≥ 0 si f ≥ 0 alors ⌠ ⌡a f(x) dx = 0 si f(x) ≤ g(x) pour tout x de [a ; b] alors si m ≤ f (x) ≤ M alors

Calculer la dérivée de F(x) = x ln x – x et en déduire ⌠ e² ln x dx. ⌡ e ⌠ab ⌡

f(x) dx ≤ ⌠ b g(x) dx ⌡a

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………….. Sachant que sur [0 ; 1] on a 0 ≤ x² ≤ x, encadrer ⌡ 1 ex² dx. ⌠
0

m (b - a) ≤ ⌠ b f(x) dx ≤ M (b - a) ⌡a

Valeur moyenne d’une fonction =

1 ⌠ b f(x) dx. b-a ⌡a

…………………………………………………………………… …………………………………………………………………….. Dans un r.o.n. d’unité 2 cm, trouver l’aire en cm² comprise entre 1 les paraboles définies sur [- 2 ; 2] par y = - x² + 4 et y = - x² + 1. 4 …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..

Calculs d’aires f définie, dérivable et positive sur un intervalle [ a ; b ]. A l’aire de la partie du plan délimité, dans un repère orthogonal, par la courbe représentative de f, l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b ;

y

8
Intégrales

Intégrales et calculs d’aires
-1

Alors :

4

3

A
2 1

A = ⌠ b f(x) dx u.a. ⌡a x 1) LES RESULTATS b Intégrale de a à b de la fonction f = ⌠ b f(x) dx = [ F(x) ] a = ⌡a F(b) – F(a) où F est une primitive