De l'algèbre

Pages: 7 (1619 mots) Publié le: 22 novembre 2012
Exercices - Applications linéaires : études théoriques :
corrigé

Généralités sur les applications linéaires
Exercice 1 - Isomorphisme - L1/Math Sup On définit g : G → Im(f ) par g(x) = f (x). Alors : – g est linéaire : c’est une conséquence directe du fait que f est linéaire. – g est injective : si x ∈ ker(g), alors x ∈ G et x ∈ ker(f ). Comme G et ker(f ) sont supplémentaires, on a x = 0. –g est surjective : prenons y ∈ Im(f ). Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈ G et v ∈ ker(f ). Alors y = f (x) = f (u) + f (v) = f (u) = g(u) avec u ∈ G, ce qui prouve bien que g est surjective. Ainsi, g définit un isomorphisme de G sur Im(f ).

Exercice 2 - Factorisation d’une application linéaire surjective - L1/L2/Math Sup -

1. Soit y dans F . Alors, y = f ◦ g(y) =f (g(y)), et donc f est surjective. Remarquons que ceci ne dépend pas du tout du fait que les applications f et g sont linéaires. D’ailleurs, il est facile de prouver qu’une application f : E → F est surjective si et seulement s’il existe g : F → E telle que f ◦ g = IdF . Ce qu’il s’agit de prouver maintenant, c’est que si f est linéaire, alors on peut choisir aussi g linéaire. ˆ 2. (a) On montreque f est injective et surjective. ˆ est injective : si x ∈ G est tel que f (x) = 0, alors f (x) = 0 et donc x ∈ ker(f ). ˆ – f ˆ Comme x ∈ G ∩ ker(f ) = {0}, on a x = 0 et donc f est injective (il est clair que ˆ est linéaire). f ˆ – f est surjective : soit y élément de F . On sait qu’il existe x de E telle que f (x) = y. Décomposons x en x = x1 + x2 avec x1 ∈ ker(f ) et x2 ∈ G. Alors f (x) = f(x1 ) + ˆ ˆ ˆ f (x2 ) = 0 + f (x2 ) et donc f (x2 ) = f (x) = y ce qui prouve que f est surjective. ˆ (b) Soit y dans F , y = f (x). Alors f ◦g(y) = f ◦ f −1 (f (x)) = f (x) = y. Donc f ◦g = IdF . 3. Si on admet (ou si on sait) que tout sous-espace vectoriel de E admet un supplémentaire, alors on a prouvé que f ∈ L(E, F ) est surjective si et seulement s’il existe g ∈ L(F, E) tel que f ◦ g = IdF .Exercice 3 - Toujours liés - L1/Math Sup L’hypothèse nous dit, que pour tout x non-nul, il existe un scalaire λx tel que f (x) = λx x. On doit prouver qu’il existe un scalaire λ tel que λx = λ pour tout x de E, ou encore que λx = λy quels que soient x et y non-nuls. Si la famille (x, y) est liée, c’est clair, car y = µx et µλy x = λy y = f (y) = µf (x) = µλx x et on peut simplifier par µx = 0.Si la famille (x, f (x)) est libre, calculons f (x + y). D’une part, f (x + y) = λx+y (x + y) = λx+y x + λx+y y, d’autre part, f (x + y) = f (x) + f (y) = λx x + λy y. Puisque la famille (x, y) est libre, toute décomposition d’un vecteur à l’aide de combinaison linéaire de ces vecteurs est unique. On obtient donc λx = λy = λx+y , ce qui est le résultat voulu. http://www.bibmath.net 1

Exercices- Applications linéaires : études théoriques :
corrigé

Exercice 4 - Factorisation et inclusion de noyaux - L1/L2/Math Sup/Math Spé Une inclusion est immédiate : si v = f ◦ u, et x ∈ ker(u), avec v(x) = f (u(x)) = f (0) = 0 et donc ker(u) ⊂ ker(v). Réciproquement, supposons que ker(u) ⊂ ker(v). Prenons y ∈ Im(u). Alors y = u(x) pour un x dans E. Nécessairement, on a v(x) = f (u(x)) = f (y) etdonc f doit être définie sur Im(u) par f (y) = v(x) pour y = u(x). On considère donc un supplémentaire S de Im(u) dans F et on définit f sur la somme directe Im(u) ⊕ S par f (y) = 0 si y ∈ S f (y) = v(x) si y ∈ Im(u) et y = u(x). Cette définition a bien un sens. En effet, si y = u(x1 ) = u(x2 ), alors x1 − x2 ∈ ker(u) ⊂ ker(v) et donc v(x1 ) = v(x2 ). De plus, f ainsi défini est bien linéaire. Il suffitde verifier la linéarité sur Im(f ). Mais prenons y1 = u(x1 ), y2 = u(x2 ) ∈ Im(f ) et λ ∈ K. Alors y1 + λy2 = u(x1 ) + λu(x2 ) = u(x1 + λx2 ) et donc f (y1 + λy2 ) = v(x1 + λx2 ) = v(x1 ) + λv(x2 ) = f (x1 ) + λf (x2 ). Ceci achève la preuve du résultat.

Symétrie et projectuons
Exercice 5 - Projections - L1/L2/Math Sup/Math Spé 1. (a) Soit y ∈ Im(p). Alors y = p(x). On en déduit p(y) =...
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