Exercices - Applications linéaires : études théoriques : corrigé Généralités sur les applications linéaires
Exercice 1 - Isomorphisme - L1/Math Sup On définit g : G → Im(f ) par g(x) = f (x). Alors : – g est linéaire : c’est une conséquence directe du fait que f est linéaire. – g est injective : si x ∈ ker(g), alors x ∈ G et x ∈ ker(f ). Comme G et ker(f ) sont supplémentaires, on a x = 0. – g est surjective : prenons y ∈ Im(f ). Alors y = f (x) avec x ∈ E. Décomposons x en x = u + v avec u ∈ G et v ∈ ker(f ). Alors y = f (x) = f (u) + f (v) = f (u) = g(u) avec u ∈ G, ce qui prouve bien que g est surjective. Ainsi, g définit un isomorphisme de G sur Im(f ).

Exercice 2 - Factorisation d’une application linéaire surjective - L1/L2/Math Sup -

1. Soit y dans F . Alors, y = f ◦ g(y) = f (g(y)), et donc f est surjective. Remarquons que ceci ne dépend pas du tout du fait que les applications f et g sont linéaires. D’ailleurs, il est facile de prouver qu’une application f : E → F est surjective si et seulement s’il existe g : F → E telle que f ◦ g = IdF . Ce qu’il s’agit de prouver maintenant, c’est que si f est linéaire, alors on peut choisir aussi g linéaire. ˆ 2. (a) On montre que f est injective et surjective. ˆ est injective : si x ∈ G est tel que f (x) = 0, alors f (x) = 0 et donc x ∈ ker(f ). ˆ – f ˆ Comme x ∈ G ∩ ker(f ) = {0}, on a x = 0 et donc f est injective (il est clair que ˆ est linéaire). f ˆ – f est surjective : soit y élément de F . On sait qu’il existe x de E telle que f (x) = y. Décomposons x en x = x1 + x2 avec x1 ∈ ker(f ) et x2 ∈ G. Alors f (x) = f (x1 ) + ˆ ˆ ˆ f (x2 ) = 0 + f (x2 ) et donc f (x2 ) = f (x) = y ce qui prouve que f est surjective. ˆ (b) Soit y dans F , y = f (x). Alors f ◦g(y) = f ◦ f −1 (f (x)) = f (x) = y. Donc f ◦g = IdF . 3. Si on admet (ou si on sait) que tout sous-espace vectoriel de E admet un supplémentaire, alors on a prouvé que f ∈ L(E, F ) est surjective si et seulement s’il existe g ∈ L(F, E) tel que f ◦ g = IdF .