Demonstration

Pages: 8 (1869 mots) Publié le: 17 mars 2012
Démonstrations des formules trigonométriques :

Addition des angles :

1. cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b
Démonstration:
Sur le cercle trigonométrique, on nomme
E, le point d’intersection du cercle avec les abscisses
A, le point tel que l’amplitude de EÔA égale a
B, le point tel que l’amplitude de EÔB égale b
D, le point tel que l’amplitude de EÔD égale a - b
Ils’ensuit que les coordonnées De E sont (1 ; 0)
De A sont (cos a ; sin a)
De B sont (cos b ; sin b)
De D sont (cos (a - b) ; sin (a – b))
D’autre part, BÔA = a – b = EÔD
Dès lors, ED = AB (des angles au centre de même amplitude interceptent des cordes de même longueur.)
Ou encore ED²= AB²
Ce qui donne, en utilisant la formule de distance entre deux points,dans un repère orthonormé :
[cos(a – b) – 1]² + [sin(a – b) -0]² = (cos b – cos a)² + (sin b – sin a)²
Cos² (a – b) – 2 cos(a – b) +1 + sin²(a – b) = cos²b – 2 cos b cos a + cos²a + sin²b – 2 sin b sin a + sin ²a
2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2 cos a cos b – 2 sin a sin b
Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
2. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
Démonstration:
Enremplaçant b par – b dans la formule cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b, on a :
Cos (a – (- b)) = cos a cos (- b) + sin a sin (- b)
Or,
cos (- b) = cos b
Sin (- b) = -sin b
Donc,
cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
3. sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a
Démonstration:
Pour trouver les formules en “sinus”, on peut utiliser les angles complémentaires:
Sin(a – b) = cos(π/2 – (a – b) )
Sin(a – b) = cos ( (π/2 – a) + b)
Sin(a – b) = cos (π/2 – a) cos b – sin (π/2 – a) sin b
Sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b (nombres trigonométriques d’angles complémentaires)
4. sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a
Démonstration:
En remplaçant b par – b dans la formule sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a, on a :
Sin(a + b) =sin(a – (- b))
Sin(a + b) = sin a cos (- b) – cos a sin (- b)
Sin(a + b) = sin a cos b + cos a sin b (nombres trigonométriques d’angles opposés)
5. tg(a – b) = tg a – tg b si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a – b ≠ π/2 + kπ
1+ tg a tg b
Démonstration:
Tg(a – b) = sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a
cos( a – b) cos a cos b + sin a sin b
Acondition que cos a et cos b soient non nuls, on peut diviser le numérateur et le dénominateur de cette fraction par le produit de cos a cos b.
Il vient après simplification,
Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a – b ≠ π/2 + kπ :
Tg(a – b) = tg a – tg b
1 + tg a tg b
6. tg(a + b) = tg a + tg b si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ, a + b ≠ π/2 + kπ
1 – tg atg b
Démonstration:
En remplaçant b par – b dans la formule tg(a – b) = tg a – tg b , on a :
1+ tg a tg b
Si a ≠ π/2 + kπ, b ≠ π/2 + kπ et a + b ≠ π/2 + kπ :
Tg(a – (- b)) = tg a – tg(- b) (nombres trigonométriques d’angles opposés)
1 + tg a tg(- b)
Tg(a + b) = tg a + tg b
1 – tg a tg b
Duplication des angles :1. cos 2a = cos² a – sin² a
Démonstration:
Si l’on pose a = b
Cos(a + a) = cos a cos a - sin a sin a
Cos 2a = cos² a – sin² a
2. sin 2a = 2 sin a cos a
Démonstration:
Si l’on pose a = b
Sin( a + a) = sin a cos a + sin a cos a
Sin 2a = 2 sin a cos a
3. tg 2a = 2 tg a si 2a ≠ π/2 + kπ, a ≠ π/2 + kπ, c.-à-d. a ≠ π/4 + kπ/2
1 – tg² a
Démonstration:
Si l’onpose a = b
Tg( a + a) = tg a + tg a
1 – tg a tg a
Tg 2a = 2 tg a
1 – tg² a
Formule de Carnot :

1. 2 cos²a = 1 + cos 2a
Démonstration:
Cos 2a = cos²a – sin²a
Cos 2a = cos²a – (1 – cos²a)
Cos 2a = 2 cos² a – 1
2 cos²a = 1 + cos 2a
2. 2 sin²a =1 – cos 2a
Démonstration:
Cos 2a = cos²a – sin²a
Cos 2a = 1 – sin²a – sin²a
Cos 2a = 1...
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