Demonstration

1869 mots 8 pages
Démonstrations des formules trigonométriques :

Addition des angles :

1. cos(a - b) = cos a cos b + sin a sin b Démonstration: Sur le cercle trigonométrique, on nomme E, le point d’intersection du cercle avec les abscisses A, le point tel que l’amplitude de EÔA égale a B, le point tel que l’amplitude de EÔB égale b D, le point tel que l’amplitude de EÔD égale a - b Il s’ensuit que les coordonnées De E sont (1 ; 0) De A sont (cos a ; sin a) De B sont (cos b ; sin b) De D sont (cos (a - b) ; sin (a – b)) D’autre part, BÔA = a – b = EÔD Dès lors, ED = AB (des angles au centre de même amplitude interceptent des cordes de même longueur.) Ou encore ED²= AB² Ce qui donne, en utilisant la formule de distance entre deux points, dans un repère orthonormé : [cos(a – b) – 1]² + [sin(a – b) -0]² = (cos b – cos a)² + (sin b – sin a)² Cos² (a – b) – 2 cos(a – b) +1 + sin²(a – b) = cos²b – 2 cos b cos a + cos²a + sin²b – 2 sin b sin a + sin ²a 2 – 2 cos (a – b) = 2 – 2 cos a cos b – 2 sin a sin b Cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b
2. cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b Démonstration: En remplaçant b par – b dans la formule cos(a – b) = cos a cos b + sin a sin b, on a : Cos (a – (- b)) = cos a cos (- b) + sin a sin (- b) Or, cos (- b) = cos b Sin (- b) = -sin b Donc, cos(a + b) = cos a cos b – sin a sin b
3. sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a Démonstration: Pour trouver les formules en “sinus”, on peut utiliser les angles complémentaires : Sin(a – b) = cos(π/2 – (a – b) ) Sin(a – b) = cos ( (π/2 – a) + b) Sin(a – b) = cos (π/2 – a) cos b – sin (π/2 – a) sin b Sin(a – b) = sin a cos b – cos a sin b (nombres trigonométriques d’angles complémentaires)
4. sin(a + b) = sin a cos b + sin b cos a Démonstration: En remplaçant b par – b dans la formule sin(a – b) = sin a cos b – sin b cos a, on a : Sin(a + b) =

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