Produit Scalaire

I. Définition du produit scalaire
On connaît le célèbre théorème de Pythagore : dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des côtés de l'angle droit.

A l'aide de la figure ci-contre, on a :

Que ce passe-t-il si le triangle est quelconque ? Qu'est le nombre ? A-t-il une signification géométrique ? vectorielle ? analytique ?
Le produit scalaire va apporter une réponse.

Soit ABC un triangle.
Soit H le projeté orthogonal de B sur la droite (AC).
Trois cas se présentent :

Dans les trois cas, on a d'après le théorème de Pythagore dans le triangle BHC rectangle en H :
BC² = HB² + HC²
Donc : 2 = AB² + AC² - (HB² + HC²) = AB² - HB² + AC² - HC²
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ABH rectangle en H, on a :
AB² = HB² + AH²
Donc : 2 = HB² + AH² - HB² + AC² - HC² = AH² + AC² - HC²

Dans le cas (II) :
2 = AH² + AC² - (AH + AC)²
= AH² + AC² - (AH² + 2AH × AC + AC²)
= -2AH × AC
D'où : = - AH × AC

Dans les cas (I) et (III) :
2 = AH² + AC² - (AC - AH)²
= AH² + AC² - (AC² - 2AC × AH + AH²)
= 2 AC × AH
D'où : = AC × AH

En résumé,
Le nombre exprime le produit scalaire des vecteurs et . Il sera noté
Définition :
Soient et deux vecteurs.
On appelle produit sclaire des vecteurs et le nombre réel noté défini par : Remarques : On note le produit scalaire Lorsque ou , on obtient
II. Expressions du produit scalaire
Théorème :
Dans un repère orthonormal, si a pour coordonnées (x ; y) et a pour coordonnées (x'; y'), alors le produit scalaire des vecteurs et est donné par :

Démonstration :
Dans ces conditions, Le vecteur a pour coordonnées (x + x'; y + y'), donc . D'où :
Théorème :
Si et sont deux vecteurs non nuls, alors le produit scalaire des vecteurs et est donné par

Démonstration :
Posons et .
Choisissons un repère orthonormal direct tel que et soient