82061CTPA0109

BTS comptabilité et gestion des organisations

Mathématiques
Première année

Devoir 1

Exercice 1 1. * Le total des effectifs est de 100 donc : X + 2 + 4 + 8 + 10 + 15 + 16 + 14 + 12 + 8 + 4 + 3 + Y = 100 soit : X + 96 + Y = 100 d’où X + Y = 100 − 96 = 4 ce qui donne une première relation entre X et Y :

Y = 4− X
* Exprimons la moyenne en utilisant les centres des classes :

15 X + 16 × 2 + 18 × 4 + 20 × 8 + 22 × 10 + 24 × 15 + 26 × 16 + 28 × 14 + 30 × 12 + 32 × 8 + 35 × 4 + 40 × 3 + 45Y 100 Sachant que M = 26,18, nous pouvons écrire : M=
M=

15 X + 45Y + 2528 = 26,18 Soit encore : 15 X + 45Y + 2528 = 26,18 × 100 100 Soit : 15 X + 45Y = 90 ou encore en simplifiant par 15 :
X + 3Y = 6

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* Résolvons maintenant le système d’équations d’inconnues X et Y avec les deux égalités obtenues :

⎧Y = 4 − X ⎧Y = 4 − X ⎧Y = 4 − X ⎧X = 3 ⇔⎨ ⇔⎨ ⇔⎨ ⎨ ⎩ X + 3Y = 6 ⎩ X + 3(4 − X ) = 6 ⎩ − 2 X = −6 ⎩Y = 1
Réponse : X =3 et Y = 1 2. Pour calculer le salaire médian nous avons besoin de déterminer les effectifs cumulés croissants : Salaire horaire brut [14,5 ; 15,5[ [15,5 ; 16,5[ [16,5 ; 19,5[ [19,5 ; 20,5[ [20,5 ; 23,5[ [23,5 ; 24,5[ [24,5 ; 27,5[ Effectifs cumulés croissants 3 5 9 17 27 42 58 Salaire horaire brut [27,5 ; 28,5[ [28,5 ; 31,5[ [31,5 ; 32,5[ [32,5 ; 37,5[ [37,5 ; 42,5[ [42,5 ; 47,5[ Effectifs cumulés croissants 72 84 92 96 99 100

La médiane est la valeur qui divise la population en deux sous-ensembles de même effectif. L’effectif total étant de 100 ; il faut diviser en deux sous-ensembles de 50 individus chacun. D’après le tableau, on voit que l’effectif 50 sera dans la classe : [24,5 ; 27,5[ En supposant que la répartition dans les classes est linéaire, on obtient le tableau de proportionnalité suivant :

24,5 42
D’où :

Me 50

27,5 58

soit :

24,5 − M e 24,5 − 27,5 = 42 − 50 42 − 58

24,5 − M e −3 −3 Soit : 24,5 − M e = = × −8 =1,5 −8 − 16 − 16
Me = 26

La médiane vaut donc 26 € : cela