devoirs surveillé de maths

Pages: 11 (2555 mots) Publié le: 1 janvier 2015
Enonceé bac1990(P)

Exercice1on donne

f(z) = z 3 + 2(− 3 + i ) z 2 + 4(1 − i 3 ) z + 8i

1) a) montrer que l' équation f(z) = 0 admet une solution imaginaire pur z que l' on déterminera
0
b) résoudre alors f(z) = 0 on note z et z les deux autres racines ; z celle qui
1 2
1
a une partie imaginaire négative
z
2) On pose ω = 1
z
0
a) donner la forme trigonométrique de ω
b) le planetant raporté a un repere orthonormé (O; U;V ) a tout nombre complexe z non nul on associe les ponts M; M ; M
1 2
2
d ' affixes respectives z; ω z; ω z ; montrer que OMM M est un losange
1 2

(

)

π

(2π )
2
a tout point M de (AB) on associe le point N de (AC) tel que M et N soient dans un meme demi plan de bord (BC) et BM = CN

Exercice2 Dans le plan orienté on considere untriangle ABC non isocele tel que AB; ÂC ≡

1) Montrer qu' il existe une seule rotation R telle que pour tout point M de (AB) on a R(M) = N et R(B) = C
préciser une mesure de son angle et constriure son centre Ω
2) Soit O = B * C on pose f = S

(OΩ)

oR

a) déterminer f(B) et f(Ω)
b) Préciser les éléments caractéristiques de f
3) Soit I = M * N a) quel est l' ensemble D des pointd I lorsqueM décrit (AB)
b) construire D

Probleme
x t2
I) soit f :] - 1;1[→ IR; x a f(x) = ∫
dt
2
01 − t
1)a) Justifier l' existence de f
b) Montrer qu' il existe trois reéls α ; β et γ tels que ∀t ∈ IR - {- 1;1}

t2
1− t2

=α +

β
1− t

+

γ
1+ t

1
1+ x 
c) en déduire que ∀x ∈] − 1;1[ on a : f(x) = Log 
−x
2
1− x 
2) Etudier les variations de f et construire saz courbeC dans un repere orthoonormé (Oo; I; J )
x
3)a) Mntrer que ∀x ∈ IR * ; ∀k ∈ IN*; Logx ≤ − 1 + Logk
+
k
1
1
k+
n+
2
2
b) En déduire que ∫ Logxdx ≤ Logk et par suite ∫ Logxdx ≤ Log ( n!)
1
1
k2
2
1
1
1
c) Montrer que ∀n ∈ IN * ; Log(n!) ≥ (n + ) Log ( n + ) − n + Log 2
2
2
2
1
4) Soit (u ) la suite definie sur IN * par : u = Log(n!) - (n + ) Logn − n
n
n
2
1
a) Montrerque ∀n ∈ IN * : u ≥ Log 2
n 2
1
b) vérifier que ∀n ∈ IN * ; u n − u n +1 = (2n + 1) f (
)
2n + 1
c) En déduire que (u n ) est convergente
1

1

1

n

1

II) Soit la suite (v n ) définie par v 0 = ∫ (1 − x) 2 dx et ∀n ∈ IN * ; v n = ∫ x 2 (1 − x) 2 dx
0

0

1)calculer v 0
2) a) (o; I; J ) R.O.N déterminer l' ensemles des points M(x; y) tels que y 2 − x(1 − x) = 0
b) b)verifier que ∀n ∈ IN * ona : u n − u n+1 = (2n + 1) f (

1
)
2n + 1

c)endéduireque (u n )est convergente
1

1

1

n

1

II) soit la suite (vn ) définiepar v0 = ∫ (1 − x) 2 dx et ∀n ∈ IN * ; v n = ∫ x 2 (1 − x) 2 dx
0

0

1) calculer v0
2)a) Le plan etant rapportea un repereO.N (o; I; J ) déterminerl' ensembledes point M(x;y) tel que y 2 − x(1 − x) = 0
b) En déduireque v1 =π

8
3)a) Montrerque (vn )est décroissante
b) en déduirequ'elle est convergente
4) a) Prouverà l' aide d' une intégration par partie que ∀n ∈ IN : vn+ 2 =
b) En déduireque ∀n ∈ IN;

n+2
vn
n+5

v
n + 2 vn+1

≤ 1 et que lim n+1 = 1
n + 5 vn
vn

5)a) montrerpar récurrenceque ∀n ∈ IN; v n+1.vn =


(n + 2)(n + 3)(n + 4)
3

b) En faisant apparaitredans l'expressionprécédentele rapport

v n+1
montrerque lim n 2 vn = 2π
vn

2
(2 p p!) 2
(2 p + 1)(2 p + 3) (2 p)!
III )(u n ) etant la suite definiedans I)4)

6) Montrerque ∀p ∈ IN ; v 2p =

n!

1) Montrerque ∀n ∈ IN*; e u n =
n
2) exprimere

2u p −u2 p

n+

1
2

en

en fonctionde p et de v 2p

3) soit l = lim u n déduirede ce qui précedeque l = Log 2π on admet que lim u 2p = lim u p = lCORRECTION (Exposeépar guesmi.boubaker)
EXERCICE1 1)a) soit z 0 = α i ; f(α i) = 0 en fasant le calculon trouveα = -2 ⇒ z 0 = −2i
b) en ecrivantf(z) = (z + 2i)(z2 + az + b) et en identifiant onobtienta = -2 3 et b = 4 et alors les
solutionsde f(z) = 0 seront z = −2i ; z = 3 − i et donc z = z = 3 + i (vu que l' équationz 2 − 2 3z + 4 = 0
0
1
2 1
est a coefficientreéls)
i

π

2)a) ω =...
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