Math
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BAC S 2003 MATHÉMATIQUES - ÉNONCÉExercice 1 (4 points) Dans le plan complexe muni d'un repère orthonormal (O, u , v ) (unité graphique : 2 cm), on considère les points A, B et C d'affixes respectives a = 2, b = 1 − i et c = 1 + i.
→ →
1. a. Placer les points A, B et C sur une figure. b. Calculer
c−a . En déduire que le triangle ABC est rectangle isocèle. b−a
2. a. On appelle r la rotation de centre A telle que r(B) = C. Déterminer l'angle de r et calculer l'affixe d du point D = r(C). b. Soit Γ le cercle de diamètre [BC]. Déterminer et construire l'image Γ' du cercle Γ par la rotation r. 3. Soit M un point de Γ d'affixe z, distinct de C et M' d'affixe z' son image par r.
¤ ¥ ¤ ¥ ¡ ¢
a. Montrer qu'il existe un réel θ appartenant à 0 ;
π π ∪ ; 2π tel que z = 1 + eiθ . 2 2
£ £
b. Exprimer z' en fonction de θ. c. Montrer que
z′ − c est un réel. En déduire que les points C, M et M' sont alignés. z−c i 2π 3
d. Placer sur la figure le point M d'affixe 1 + e
BAC S 2003
¡ ¢
et construire son image M' par r.
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G. COSTANTINI
Exercice 2 Obligatoire (5 points)
Soient a un réel strictement positif et OABC un tétraèdre tel que : • OAB, OAC, OBC sont des triangles rectangles en O. • OA = OB = OC = a
C
On appelle I le pied de la hauteur issue de C du triangle
H O D I A B
ABC, H le pied de la hauteur issue de O du triangle OIC → → et D le point de l'espace défini par HO = OD .
1. Quelle est la nature du triangle ABC ? 2. Démontrer que les droites (OH) et (AB) sont orthogonales, puis que H est l'orthocentre du triangle ABC. 3. Calcul de OH. a. Calculer le volume V du tétraèdre OABC puis l'aire S du triangle ABC. b. Exprimer OH en fonction de V et de S, en déduire que OH = a
3 . 3
¡ ¥
4. Étude du tétraèdre ABCD. 1 1 1 L'espace est rapporté au repère orthonormal O ; OA , OB , OC . a a a
¥ ¤ £ ¨ ¦§©¨ ¦§§©¨ §§¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¦ ¢ ¤
a. Démontrer que le point H a pour coordonnées :
a a a , , . 3 3 3