devoirs

Pages: 28 (6761 mots) Publié le: 11 janvier 2014
Exercice 4, spécialité
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Énoncé
Énoncé
Pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on désigne par la fonction définie sur par :
.
On note sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.
Partie A
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté une courbe où k est un entier naturel non nul, sa tangente au point d'abscisse 1 et la courbe .
La droite coupe l'axe desabscisses au point A de coordonnées .

Zoom
1. 
a) Déterminer les limites de la fonction en et en .
b) Étudier les variations de la fonction et dresser le tableau de variations de .
c) À l'aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2.
2. 
a) Démontrer que pour , toutes les courbes passent par le point O et un autre point dont on donnera les coordonnées.
b) Vérifierque pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel x :
.
3. Sur le graphique, la fonction semble admettre un maximum atteint pour .
Valider cette conjecture à l'aide d'une démonstration.
4. 
a) Démontrer que la droite coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées .
b) En déduire, à l'aide des données de l'énoncé, la valeur de l'entier k.
Partie B
On désigne par lasuite définie pour tout entier n supérieur ou égal à 1 par .
1. Calculer .
2. Dans cette question, toute trace de recherche ou d'initiative, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.
Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les portions des courbes , , , , et comprises dans la bande définie par .

Zoom
a) Formuler une conjecture sur le sens de variation de la suite endécrivant sa démarche.
b) Démontrer cette conjecture.
c) En déduire que la suite est convergente.
d) Déterminer .

Corrigé
Partie A
1. 
Pour tout réel x, on a .
a) Lorsque , on a .
Donc .
On sait que , d'où .
Donc .
b) 
La fonction f1 est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables.
f1 est de la forme uv, sa dérivée f'1 sera de la forme , avec pour tout réel x :
u(x) = xd'où u'(x) = 1,
et d'où .
Donc .

Zoom
c) D'après l'énoncé, on sait que k est un nombre entier non nul.
On a vu à la question 1. a) que .
D'après le graphique de l'énoncé .
Donc k est un entier supérieur ou égal à 2.
2. 
a) Pour tout entier n non nul on a :


Donc toutes les courbes passent par le point O et le point de coordonnées .
b) Pour tout entier n supérieur ou égal à 2,la fonction fn est dérivable sur comme produit de fonctions dérivables.
fn est de la forme uv, sa dérivée f'n sera de la forme , avec pour tout réel x :
d'où .
d'où .
Donc ,
d'où .
3. En utilisant le résultat de la question précédente, on a :
.
La fonction s'annule en changeant de signe uniquement pour x = 3, lorsque x > 3, elle est négative et pour x  un.
Propriété 2 : toute suitecroissante et majorée converge ; toute suite décroissante et minorée converge.
Dans la suite de cet exercice, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.
2. 
Dans les cas suivants, les suites (un) et (vn) ont-elles la même limite ? Sont-elles adjacentes ?
Justifier les réponses.
a)  et .
b)  et .
c)  et .
3. Onconsidère un nombre réel a positif et les suites (un) et (vn) définies pour tout nombre entier naturel n non nul par :
et .
Existe-t-il une valeur de a telle que les suites soient adjacentes ?

Corrigé
1. Restitution organisée de connaissances 
Toute suite croissante est minorée par son premier terme, donc pour tout entier n : .
Toute suite décroissante est majorée par son premier terme, donc pourtout entier n : .
D'après la propriété 1, on a pour tout entier n, .
Donc pour tout entier n, on a : .
La suite est donc croissante et majorée par .
D'après la propriété 2, elle converge. Donc il existe tel que :
.
La suite est décroissante et minorée par .
D'après la propriété 2, elle converge. Donc il existe tel que :
.
D'après la définition, on a et d'après ce qui précède ....
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