diagonalisation algèbre 2...étudiant en science économique et gestion en S4 au Maroc
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Matrices diagonales
Valeurs propres et vecteurs propres
Polynôme caractéristique
Exemples
Illustration par MuPad
QCM corrigé
Matrices diagonales
Nous nous plaçons dans ou , avec
. Les éléments de ou sont les scalaires. Toutes les matrices considérées sont des matrices carrées à lignes et colonnes. Les vecteurs sont identifiés à des matrices à lignes et colonne.
Une matrice est diagonale si tous ses coefficients en dehors de la diagonale sont nuls.
Elle est donc de la forme :
Pour comprendre le rôle des coefficients diagonaux, supposons tout d'abord qu'ils sont tous égaux à . Dans ce cas, est proportionnelle
à la matrice identité :
. Pour tout vecteur de
, la vecteur est proportionnel à
:
. Multiplier le vecteur par la matrice revient à le multiplier par le facteur . Géométriquement, c'est effectuer une homothétie de rapport . Supposons maintenant que les coefficients diagonaux soient quelconques. Considérons une base matrice
de
, et examinons l'endomorphisme de
, de dans cette base. Dire que est diagonale, c'est dire que
l'image du vecteur
,
de la base est
est une homothétie de rapport
vecteur quelconque de
,
s'écrit
. Si on restreint
à la direction
(voir figure ci-après). Si
. Son image par
est un
est :
Endomorphisme du plan, de matrice diagonale. Les coefficients diagonaux sont 2 et -1.
Les matrices diagonales sont particulièrement simples à manipuler.
Voici les propriétés principales :
Le déterminant d'une matrice diagonale est le produit des coefficients diagonaux.
Multiplier à gauche par une matrice diagonale revient à multiplier la
-ième ligne par
: si
est une matrice quelconque, alors
Multiplier à droite par une matrice diagonale revient à multiplier la ième colonne par
: si
-
est une matrice quelconque, alors
Le produit