Diserter

Pages: 11 (2611 mots) Publié le: 5 mars 2011
Séries à termes de signe constant
Exercice 1 Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
ch n a) un = ch 2n b) un =

d) un = e−n
g) un =

α

1 n cos 2 n

− n 2 −1 n 2 +1 ln n e) un = α n 1 h) un = (ln n )ln n

1

1

 n   c) un =     n + 1  

n2

f) un = exp(−(ln n )α ) 1 n si n est un carré  i) un =  2 .  1 n sinon  Exercice 2

Soit

∑ u et ∑ v deux séries à termes strictement positifs convergentes. Montrer uv que ∑ max(u , v ) , ∑ u v et ∑ sont aussi convergentes. u +v
n n

n n

n

n

n n

n

n

Exercice 3 Exercice 4

Soit Soit

∑u ∑u

n

une SATP convergente. Montrer que



un un +1 est aussi convergente. < 1 alors

n

une SATP. On suppose que n un → ∈ » + . Montrer que siconvergente et que si > 1 , conclure.

∑u

∑u

n

est

n

est divergente. Observer que, lorsque = 1 , on ne peut rien

Exercice 5

Soit (un ) une suite décroissante de réels positifs. On suppose que la série Montrer que nun → 0 .

∑u
n ≥0

n

converge.

Exercice 6

Soit (un ) une suite de réels positifs et vn =
nature.

un . Montrer que 1 + un

∑u

n

et

∑vn

sont de même

Exercice 7

Soit (un ) une suite de réels strictement positifs. u a) Pour tout n ∈ » , on pose vn = n . Montrer que ∑ un et ∑ vn sont de même nature. 1 + un un b) Même question avec vn = . On pourra étudier ln(1− vn ) dans le cadre de la u1 + + un divergence. Soit (un )n ≥1 une suite réelle décroissante de limite nulle. On suppose que la suite (vn )n≥1 définie par vn = ∑ uk− nun est bornée.
k =1 n

Exercice 8

Montrer que la série

∑u

n

converge.

Exercice 9

Soit (un ) et (vn ) deux suites de réels strictement positifs. a) On suppose qu’à partir d’un certain rang b) On suppose que un +1 vn +1 ≤ . Montrer que un = O (vn ) . un vn

1 un +1 α = 1− + o   avec α > 1 .   n    un n

Montrer, à l’aide d’une comparaison avec une série deRiemann que

∑u

n

converge.

Exercice 10 Soit

∑u
n ≥0

n

une série absolument convergente et vn = uσ (n ) avec σ ∈ S(») .

Montrer que la série

∑v
n ≥0

n

est absolument convergente de même somme de ∑ un .
1 . Même question σ (n ) 2 n ≥1

Exercice 11 Soit σ : »* → » * une application bijective. Déterminer la nature de ∑
pour ∑ 1 . σ (n ) n ≥1

Exercice 12 Montrerque la convergence de

+∞ 1 1 1 puis la majoration du reste : ∑ ≤ . ∑k! n .n ! k =0 k =n +1 k ! +∞

Séries à termes changeant de signe
Exercice 13 Montrer que la somme d’une série SCV et d’une série ACV n’est que SCV. Exercice 14 Déterminer la nature de
a) un =

∑u

n

pour :

(−1) n +1
n

 (−1)n    b) un = ln 1 +     n +1  

c) un = cos π n 2 + n + 1

(

)

d)un = n + (−1)n − n

e) un =

(−1)n ln(n + (−1)n )

f) un =

(−1)n ln(n ) + (−1)n

Exercice 15 Déterminer la nature de ∑
+∞

(−1)n . n n! n ≥1

Exercice 16 Montrer que



(−1)n 8n est un réel négatif. n =0 (2n )!
(n +1) π

Exercice 17 On pose un = ∫



sin x dx . Montrer que la série x

∑u

n

est convergente.

Exercice 18 a) Justifier la convergence de ∑
k ≥1+∞ (−1)k (−1)k . On pose Rn = ∑ . k k k =n +1

b) Montrer que Rn + Rn +1 =

k =n +1

∑ k (k +1) .

+∞

(−1)k

c) Déterminer un équivalent de Rn . d) Donner la nature de ∑ Rn .
n ≥1

 π Exercice 19 Déterminer la nature de ∑ sin n π +  .      n n ≥1

Exercice 20 Donner la nature de la série des

jn . n

Exercice 21 Soit (an ) une suite positive décroissante de limitenulle (Sn ) une suite bornée.
a) Montrer que la série

∑ (a

n

−an +1 )Sn est convergente.

b) En déduire que la série

∑a

n

(S n − Sn−1 ) est convergente.

c) Etablir que pour tout x ∈ » \ 2π» , la série



cos(nx ) est convergente. n

Exercice 22 Soit z n le terme général d’une suite complexe convergente. Etablir que
n

∑n
n ≥1

zn

est convergente....
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