1S1 – Corrigé DM01

Exercice 1

Un triangle articulé a deux côtés de longueurs fixes 1 et 3 unités. Son troisième côté a pour longueur x Quelles sont les valeurs possibles pour x ?
On sait que, d’une part, la longueur d’un côté d’un triangle est inférieure ou égale à la somme des 2 autres côtés. donc xÂ4.
Par ailleurs, la longueur d’un côté est au moins égale à la différence entre le plus grand et le plus petit des 2 autres. donc xÃ2.
En définitive, on a : x☻.

Montrer que l’aire du triangle est : S(x)=.
En partant de la formule de Héron, on peut dire que : S=
Or, ici, on a a=1; b=3; c=x. Donc le demi périmètre est : p==
Donc :S=
Donc :S=
Donc :S=
Donc :S=
Donc :S=
Donc :S=C.Q.F.D.

À la calculatrice, on tape la fonction associée à l’aire S :

En choisissant correctement la fenêtre d’affichage, (ici on peut prendre x☻ et y☻), on obtient, en utilisant le mode TRACE, l’écran ci-contre :

On en déduit, à un dixième près, que l’aire maximale est obtenue pour xó3,2.
Cette aire maximale semble être égale à 1,5.

Démonstration géométrique

a)On sait que AC=3 et que ACH est rectangle en H.
On peut considérer que le point A appartient au cercle de centre C et de rayon 3.
Donc, puisque, dans un triangle rectangle, chacun des 2 côtés de l’angle droit a une longueur inférieure à celle de l’hypothénuse :
AHÂ3.
La longueur AH est maximale lorsque H et C sont confondus. Dans ce cas, ABC est rectangle en C.
Donc AH vaut, au maximum, 3.

Or l’aire d’un triangle est égale à :
Donc, dans le triangle ABC, l’aire vaut :
L’aire maximale est donc :=1,5.
Dans ce cas, ABC étant rectangle en A, on a, en utilisant le théorème de Pythagore : =+.
Donc :=10
Donc :x=ó3,162277…

Exercice 2

1.Lorsque M décrit le segment [AB], x décrit l’intervalle .
La distance OM est maximale lorsque M=A (lorsque x=0). Elle vaut alors OA=2.
Cette distance diminue jusqu’à un minimum lorsque M est au milieu de [AB]. La distance vaut alors 2, ainsi