Partie A
La fonction g est définie sur l'intervalle ]–1 ; +õ[ par : g(x) = ln(x + 1) + 2x. Sa courbe représentative dans le repère orthogonal (O,Åi ,Åj ) est désignée par Cg (unités graphiques : 4 cm en abscisse et 2 cm en ordonnée).
1) a- Déterminer les limites de g en – 1 et en +õ ; en déduire que la courbe Cg admet une asymptote D dont on donnera une équation. b- Déterminer le sens de variation de chacune des deux fonctions h et k définies sur l'intervalle
]–1 ; +õ[ par h(x) = ln(x + 1) et k(x) = 2x. En déduire le sens de variation de g sur ]–1 ; +õ[. c- Dresser le tableau de variation de g sur ]–1 ; +õ[.
2) Calculer g(0) et en déduire le signe de g sur [0 ; +õ[.
3) Tracer la courbe Cg et l'asymptote D.
4) a- Montrer que la fonction G, définie sur ]–1 ; +õ[ par G(x) = x ln(x + 1) + ln(x + 1) – x + x2
, est une primitive de g. b- Calculer l'intégrale Il = ∫
1
0 g(x)dx .
Partie B
Soit f la fonction définie sur Ë par : f(x) = x(ex²
–

1).
Cette fonction est représentée, sur l'intervalle [– 2 ; 2], dans le repère (O,Åi ,Åj ), par la courbe Cf
.

1) a- Vérifier l'égalité suivante, pour tout nombre réel x, f'(x) = e x² - 1 + 2x2 e x²
.
Quel est le signe de ex² - 1 ? En déduire que, pour tout nombre réel x, f ’(x) est positif ou nul. b- Déterminer les limites de f en -õ et en +õ. c- Dresser le tableau de variation de f sur Ë.
2) Soit I2, l'intégrale ∫
1
0 f(x)dx. Montrer que I2 = e 2 - 1.
Partie C
On admettra, sur [0; 1], la fonction f est positive et que les fonctions f et g vérifient : f ≤ g.
Soit A la surface délimitée, sur le graphique, par les deux courbes Cf et Cg et les droites d'équations x = 0 et x = 1.
Colorier la surface A, puis calculer à l'aide des intégrales I1 et I2 l'aire de A, exprimée en cm2
. Donner la valeur exacte de l'aire de A, puis sa valeur décimale arrondie à 10-2 près