Devoir d’électronique
[Etude d’un filtre de ButterWorth]

A l’aide du gabarit on prend : f0=1KHz (fréquence de coupure à-3dB)f=3KHz
On nous donne la forme générale du module soit :
H=11+x2n
Le gabarit nous impose un gain de -40dB maximum aux fréquences supérieures ou égales à 3KHz.

Ainsi :
20logH≤-40dB
logH≤-2
H≤10-2
11+x2n≤0,01 avec x=ww0=3
0,01.1+32n≥1
1+32n≥100
32n≥10000-1
2nlog3≥log9999 n≥log99992log3 n≥4,2
On choisit donc un ordre 5 afin de pouvoir respecter le gabarit.

On étudie le filtre avec un courant i parcourant la résistance R et le condensateur C : i=C.dsdt e=R.i+s=R.C.dsdt+s
On passe l’équation en Laplace :
Ep=R.C.p.S(p)+S(p)
Ep=S(p)R.C.p+1
S(p)E(p)=11+R.C.p
Avec p équivalent à jw : se=11+j.R.C.w Finalement
T1=11+j.R.C.w et T1=11+R.C.w²=11+x1² avec x1=R.C.w

Pour la cellule d’ordre 2, on reconnait une forme de Sallen et Key :

T2=Z3.Z4Z1.Z2+Z3Z1+Z2+Z3.Z4
Avec les valeurs d’impédances suivantes :
Z1=Z2=RZ3=1j.C2.wZ4=1j.C1.w

Ainsi :
T2=1j.C2.w.1j.C1.wR.R+1j.C2.wR+R+1j.C2.w.1j.C1.w
Soit :
T2=1j².C1.C2.w²R²+2.Rj.C2.w+1j².C1.C2.w²
T2=11+j.C1.2.R.w+j².C1.C2.R².w²
T2=11+2.j.R.C1.w-R2.C1.C2.w²
Par identification on a :
Expression de w0 : x22=w²w0²=R2.C1.C2.w² w²=R2.C1.C2.w².w0² w0²=1R2.C1.C2=>w0=1R.C1.C2 Expression de z :
2.j.R.C1.w=2.j.z.x2
R.C1.w=z.ww0 z=R.C1.w0=R.C1R.C1.C2=C1C1.C2=C1C2 Le module est le suivant :
T2=11+2.j.z.x2-x22
T2=11-x22²+2.z.x2²
T2=11-w2w02²+2.C1C2.ww0²
T2=11-R2.C1.C2.w²²+2.C1C2.R.C1.C2.w²
La valeur de z qu’il faudrait choisir afin qu’un filtre d’ordre 2 suffise est :
T2=11-x22²+2.z.x2²
T2=11+x24-2.x22+4.z².x22
On veut retrouver la forme de départ :
T2=11+x2n
Ainsi il faut que dans le dénominateur on est :
4.z².x22-2.x22=0
4.z²-2x22=0
4.z²-2=0
4.z²=2 z²=12 z=12

On rappel :
T1=11+j.x1
T2=11+2.j.z.x2-x22
Ainsi on peut trouver les transmittance suivantes :
Expression de T2'
T2'=11+2.j.R.C1'.w-R2.C1'.C2'.w²
T2'=11+2.j.R.C'cos²π5.w-R2.C'2cos²π5.w²