DM de mathématiques. Dérivation – Produit scalaire.
Exercice 1
Pour les fonctions f suivantes, calculer f '( x) .( On ne demande pas les ensembles de définition de f et de f’’ et on présentera le résultat de façon à ce que le signe de f '( x) soit aisé à étudier )

3 x 3 x 2) f ( x)  x2 x2 5 2x  5 (2 x  3) 4) f ( x)  5) f ( x)  3 (4 x  7) 2x  3
1) f ( x) 

3) f ( x) 

x 2  3x  7 x 2  3x  5
2

6) f ( x)   3x  1

x2

Exercice 2
1 3 On considère les fonctions f et g définies sur  par f ( x)   x 2  2 x  et g ( x)  x3  4 x 2  4 x  1 . 2 2 Leurs représentations graphiques cf et cg sont données dans l’annexe 1 (voir fin du sujet) , cf en pointillés et cg en traits pleins. 1) Étudier le sens de variation de f et g et donner leur tableau de variations. 2) a) Montrer que cf et cg sont tangentes au point A d'abscisse 1 , déterminer l'équation de cette tangente (T) et la tracer. b) Montrer que cf et cg ont un deuxième point commun B que l'on déterminera. cf et cg sont-elles aussi tangentes en B ? 3) Déterminer les points de cg où la tangente est parallèle à la droite d’équation y  4 x (préciser leurs coordonnées) et tracer les tangentes correspondantes.  5 3 4) Soit D   ;  , déterminer les points de cf où la tangente passe par D (préciser leurs coordonnées) et  2 2 tracer ces tangentes.

Exercice 3

Un stade olympique a la forme d’un rectangle avec deux demi-cercles aux extrémités. La longueur de la piste intérieure est imposée et mesure 400 m. On veut déterminer les dimensions du stade pour que l’aire de la surface rectangulaire hachurée soit maximale. 1) Soit x la longueur du rectangle et y sa largeur. Exprimer la longueur de la piste intérieure en fonction de x et de y . 2) En déduire l’aire f ( x) de la surface rectangulaire hachurée, étudier les variations de f et conclure pour les dimensions du stade.

Exercice 4
Soient A et B deux points tels que AB  5 . 1) Construire un point C du plan tel que AB . AC 