 

P. Delezoide 30 Mai 2000

I
1
Nous utilisons les in´galit´s bien connues e e ∀u ∈ IR+ 0 < e−u ≤ 1 , ∀t > 0 | sin t| ≤ inf{1, t} sin t n t

(1) est continue

D’apr`s les th´or`mes g´n´raux, la fonction (x, t) → e−xt e e e e e sur [0, +∞[×]0, +∞[, et d’apr`s les in´galit´s (1) : e e e ∀(x, t) ∈ [0, +∞[×]0, +∞[ e−xt sin t t n ≤ inf

1 ,1 tn

(2)

La fonction t → inf {t−n , 1} est int´grable sur ]0, +∞[ : elle est continue, vaut e 1 sur ]0, 1], et elle est int´grable au voisinage de +∞ par application de la r`gle e e de Riemann (n ≥ 2). Les hypoth`ses du th´or`me de convergence domin´e sont e e e e donc v´rifi´es. On en d´duit que la fonction fn est bien d´finie et continue sur e e e e [0, +∞[.

1

2
Fixons a > 0. D’apr`s les th´or`mes g´n´raux, la fonction (x, t) → e −xt e e e e e continue sur [a, +∞[×]0, +∞[, et d’apr`s les in´galit´s (1) : e e e ∀(x, t) ∈ [a, +∞[×]0, +∞[ e−xt sin t t n sin t t

est

≤ e−xt ≤ e−at

(3)

e e e La fonction t → e−at est int´grable sur ]0, +∞[ (d’int´grale 1/a). Les hypoth`ses du th´or`me de convergence domin´e sont donc v´rifi´es. On en d´duit que la e e e e e e fonction f1 est bien d´finie et continue sur [a, +∞[. Comme ceci est vrai pour e tout a > 0, on en d´duit que f1 est d´finie et continue sur ]0, +∞[. e e

3
Pour tout n ≥ 1 et x > 0, d’apr`s les in´galit´s (1) on a l’in´galit´ : e e e e e ∀t > 0 et par cons´quent : e |fn (x)| ≤
0

e−xt

sin t t
+∞

n

≤ e−xt

(4)

e−xt dt =

1 x

On en d´duit bien sˆr fn (x) −→ 0. e u x→+∞ 4
a) Remarquons d’abord que la fonction sous l’int´grale est de signe fixe, celui de e (−1)k , sur l’intervalle ]k π, (k + 1) π[; on a par cons´quent, pour tout k ∈ IN : e
(k+1) π

|uk (x)| = kπ e−xt

| sin t| dt t

La fonction t → e−xt /t ´tant d´croissante, on en d´duit : e e e
(k+1) π kπ

e−(k+1)π x | sin t| dt ≤ (k + 1)π ≤

(k+1) π kπ (k+1) π kπ

e−x t | sin t| dt ≤ t e−kπ x | sin t| dt kπ π 0

On en d´duit l’in´galit´ de