Echantillonage et estimation

Pages: 18 (4421 mots) Publié le: 27 avril 2012
ÉCHANTILLONNAGE - ESTIMATION

- Partie A - Échantillonnage L'objectif de cette partie est de répondre à la problématique suivante : comment, à partir d'informations (couple moyenne-écart-type ou proportion) connues sur une population, peut-on prévoir celles d'un échantillon ?

Nous distinguerons deux cas : celui où l'on étudie une moyenne dans un échantillon et celui où l'on étudie uneproportion dans un échantillon.

A.1. Étude de la moyenne d'un échantillon On dispose d'une population sur laquelle est définie une variable aléatoire X dont on connaît l'espérance (ou la moyenne)  et l'écart-type .
Population

Moyenne  connue. Ecart-type  connu. 

Echantillons de taille n

{

1

2

3

4

5

...

i

On s'intéresse aux échantillons de taille n.Auront-ils tous la même moyenne ? Non, certains peuvent être constitués d'éléments atypiques et avoir une moyenne très différente de celle de la population (surtout si l'échantillon est de petite taille). Notons X la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de taille n, associe sa moyenne ( X s'appelle encore la distribution des moyennes des échantillons). Que peut-on dire de cette variable aléatoireX ?

Théorème Central Limite - Version 1 - (Version faible) Contexte : variable aléatoire X qui suit une loi normale sur la population X  N( ; ) On prélève, au hasard, un échantillon (tirages avec remise(1) ou assimilés) de taille n de moyenne X . Alors la variable aléatoire X suit également une loi normale :    X  N ;  n 
Atténuation de la dispersion par le processusd'échantillonnage.

www.COURS-FSJES.blogspot.com

(1)

Un tirage avec remise est encore appelé "tirage non exhaustif". Si on fait un tirage sans remise (tirage exhaustif), on modifie la taille de la population au fur et à mesure des tirages, ce qui compliquerait les calculs (intervention d'un facteur d'exhaustivité). Ceci dit, pour des grandes populations le tirage sans remise s'assimile à un tirage avecremise.

Démonstration : Notons E  {x1 ; x2 ; ... ; xn} un échantillon de n éléments prélevés au hasard dans la population. Pour tout i compris entre 1 et n, notons Xi la variable aléatoire correspondant à la valeur du i-ème élément xi de l'échantillon. Nous savons, par hypothèse, que : E(Xi )   et (Xi )   La moyenne X des n valeurs de l'échantillon est : X X 1  X 2  ...  X n nD'après les propriétés de la loi normale, nous savons qu'une combinaison linéraire de variables aléatoire qui suivent la loi normale est encore une variable aléatoire qui suit la loi normale. Comme chaque variable aléatoire Xi suit ici la loi normale N(, ), la variable aléatoire moyenne X suit donc également une loi normale. Calculons ses paramètres. D'après la propriété de linéarité de l'espérance: EX  D'après les propriétés de la variance : V X   D'où : V ( X 1 )  V ( X 2 )  ...  V ( X n ) n 2  2  2  n2 n n X    n E ( X 1 )  E ( X 2 )  ...  E ( X n ) n   n n

Théorème Central Limite - Version 2 - (Version forte) Contexte : variable aléatoire X qui suit une loi quelconque sur la population avec E(X)   et (X)  . On prélève, au hasard, un échantillon (tiragesavec remise ou assimilés) de taille n, avec n Alors la variable aléatoire X suit approximativement une loi normale :    X  N ;  n  30, de moyenne X .

Ce théorème dû aux mathématiciens De Moivre et Laplace est de démonstration très difficile. Il est admis ici. Remarque : il ne faut pas confondre l'écart-type de la variable aléatoire X (qui est définie sur l'ensemble n des échantillonspossibles de taille n) avec l'écart-type d'un échantillon prélevé. L'écart-type de l'échantillon  prélevé n'interviendra pas dans nos calculs dans cette partie. Pour éviter cette confusion, la quantité sera n parfois appelée "erreur type". 

www.COURS-FSJES.blogspot.com

Exemple : Les statistiques des notes obtenues en mathématiques au BAC STI en France pour l'année 2006 sont : Moyenne...
Lire le document complet

Veuillez vous inscrire pour avoir accès au document.

Vous pouvez également trouver ces documents utiles

  • échantillonage
  • Echantillonage
  • Echantillonage
  • echantillonage
  • Échantillonage
  • estimation
  • Estimation
  • Les estimations

Devenez membre d'Etudier

Inscrivez-vous
c'est gratuit !